2 контрольные работы.Математика

Контрольная работа № 1

6. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) методом Крамера;

в) матричным способом.

Решение.

Исследуем систему на совместность. Воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли, для этого найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы. Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы. Система несовместна (не имеет решений).

16. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис. Разложить вектор по векторам .

Решение.

Составим определитель из координат векторов , и вычислим его:

Так как △≠0, то векторы , линейно независимы и образуют базис.

Разложение вектора по векторам базиса имеет вид

где – координаты вектора . Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:

Решим систему по правилу Крамера. Главный определитель системы

В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

где △ – определитель системы, а – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при , свободными членами (i=1,2).

Определитель системы нам известен, вычислим определители:

Отсюда

Решение системы образует совокупность координат вектора в базисе , , т.е. в этом базисе или

26. Даны координаты точек . Найти:

1) длину вектора ;

2) угол между векторами .

Решение.

Координаты векторов:

1) длину вектора

2) угол между векторами

Угол между векторами можно найти по формуле:

Найдем угол между ребрами и :

36. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1) площадь грани ;

2) объем пирамиды

Решение

Координаты векторов:

1) площадь грани

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

2) объем пирамиды

Объем параллелепипеда, построенный на векторах равен:

46. Даны вершины треугольника ABC. Найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты, проведенной из вершины A.

Решение.

1) Уравнение стороны АВ:

2) уравнение высоты, проведенной из вершины A

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная прямой имеет направляющий вектор и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение стороны BC:

Найдем уравнение высоты через вершину A:

56. Даны координаты точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной заданной плоскости .

Решение.

Общее уравнение плоскости:

где

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы.

Подставляем и получаем исходное уравнение плоскости:

Контрольная работа № 2

6. Изобразить схематично график функции , удовлетворяющей указанным условиям.

Решение.

Изобразим схематично график функции , удовлетворяющей указанным условиям:

16. Найдите указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение.

26. Найдите производную функции .

Решение.

36. Тело движется прямолинейно по закону , где s – путь, измеряемый в метрах, t – время, измеряемое в секундах. Найдите скорость и ускорение движения тела через две секунды после начала движения.

Решение.

Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть:

скорость движения тела через две секунды после начала движения:

Найдём ускорение точки в любой момент времени t:

ускорение движения тела через две секунды после начала движения:

46. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение.

1) Область определения функции , то есть . Точка разрыва . Вычислим односторонние пределы:

Получаем, что вертикальная асимптота

2) Точки пересечения с осями координат:

3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как

Видим, что

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную

Находим критические точки, т.е. приравниваем производную к нулю:

Исследуем знак производной на интервале, на котором критические точки делят область определения функции.

Функция убывает на интервале и возрастает на интервале . Функция имеет минимум в точке

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную

Находим критические точки, т.е. приравниваем вторую производную к нулю:

Исследуем знак производной на интервале, на которые критическая точка делит область определения функции:

Функция выпукла вверх на интервале , выпукла вниз на интервале . Точка перегиба:

6) Наклонные асимптоты вида

Наклонная асимптота

7) Строим график функции