2 работы по математике

Задание 1

РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка

(■(2&1&0@1&2&0@-1&1&3))

Решение

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число λ есть собственное число оператора A в том и только том случае, когда det(A-λE)=0. Запишем характеристическое уравнение:

A-λE= (■(2&1&0@1&2&0@-1&1&3)) - (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) = (■(2-λ&1&0@1&2-λ&0@-1&1&3-λ))

det (A-λE) = |■(2-λ&1&0@1&2-λ&0@-1&1&3-λ)| = λ^3 +7 λ^2 -15λ+9

=- (λ-1) (λ-3) (λ-3)=0

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа

- (λ-1) (λ-3) (λ-3) =0=> λ_1 =1, λ_2 =3

Его характеристические корни λ_1 = 1 , λ_2 = 3 являются собственными числами.

Собственный вектор для собственного числа λ_1 = 1 найдем из системы с основной матрицей (A-λ_1 E)=A-E. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

(A-E) = (■(1&1&0@1&1&0@-1&1&2)) ~ (■(1&1&0@0&0&0@-1&1&2)) ~ (■(1&1&0@0&0&0@0&2&2)) ~ (■(1&1&0@0&2&2@0&0&0))

~ (■(1&1&0@0&1&1@0&0&0)) ~ (■(1&0&-1@0&1&1@0&0&0))

{█(x_1 -x_3 =0,@x_2 +x_3 =0)┤

Отсюда

{█(x_1 =x_(3,) @x_2 =-x_(3.) )┤

и мы имеем собственный вектор

(Х_1 )̅ = (-■(x_3 @x_3 @x_3 )) =С∙ (■(1@-1@1)).

Собственный вектор для собственного числа λ_1 = 3 найдем из системы с основной матрицей (A-λ_1 E)=A-3E. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

(A-3E) = (■(-1&1&0@1&-1&0@-1&1&0)) ~ (■(1&-1&0@1&-1&0@-1&1&0)) ~ (■(1&-1&0@0&0&0@-1&1&0))~

~ (■(1&-1&0@0&0&0@0&0&0))

Система линейных уравнений, соответствующая последней матрице, имеет две свободных переменных: x_2 и x_3 .

x_1 = x_2

и мы имеем собственный вектор

(Х_2 )̅ = (-■(x_3 @x_3 @x_3 )) = (■(C_1 @C_1 @C_2 ))

Ответ:(Х_1 )̅ = (-■(x_3 @x_3 @x_3 )) =С∙ (■(1@-1@1)) , (Х_2 )̅ = (■(x_2 @x_2 @x_3 )) = (■(C_1 @C_1 @C_2 )),

Задача 2. Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

{█(x_1 +x_2 -x_3 +2x_4 =3@x_1 +x_2 -x_3 -2x_4 =-1@x_1 +x_2 -x_3 +6x_4 =7)┤

Решение

Запишем расширенную матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду.

(A/B) = (├■(1&1&■(-1&2)@1&1&■(-1&-2)@1&1&-■(1&6))|■(3@-1@7))

Умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй строке, затем первую строку умножим на (-1) прибавим к третьей строке. Получим:

(├■(1&1&■(-1&2)@1&1&■(-1&-2)@1&1&-■(1&6))|■(3@-1@7)) ~ (├■(1&1&■(-1&2)@0&0&■(0&-4)@0&0&■(0&4))|■(3@-4@4)) ~ (├■(1&1&■(-1&2)@0&0&■(0&-4)@0&0&■(0&0))|■(3@-4@0))

Ненулевых строк 2, следовательно, ранг матрицы А равен двум, т.е. rangA=2. Ранг расширенной матрицы также равен rangA/B=2, Следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений (так как ранг матрицы меньше, чем количество неизвестных).

Выберем в качестве базисного минор M= |■(-1&2@0&-4)|≠0. Тогда, полагая x_1 = c_1 , x_2 = c_2 , получаем:

{█(с_1 +с_2 -x_3 +2x_4 =3@-4x_4 =-4)┤ => {█(-x_3 +2x_4 =3-(с_1 +с_2 )@-4x_4 =-4)┤

По правилу Крамера находим( x)_3 , x_4

∆= |■(-1&2@0&-4)|=4

∆_1 = |■(3-(с_1 +с_2 )&2@-4&-4)| =-12+4 (с_1 +с_2 ) +8=-4+4 (с_1 +с_2 )

∆_2 = |■(-1&3-(с_1 +с_2 )@0&-4)|=4

( x)_3 = (-4+4(с_1 +с_2 ))/4 = с_1 + с_2 -1

( x)_4 = 4/4=1

Таким образом общее решение системы:

{■(█(x_3 =с_1 +с_2 -1,@x_4 =1,)@x_1 =c_1 ,@x_2 =c_2 )┤

Проверка

{█(с_1 +с_2 -(с_1 +с_2 -1)+2=3@с_1 +с_2 -(с_1 +с_2 -1)-2=-1@с_1 +с_2 -(с_1 +с_2 -1)+6=7)┤ => {█(3=3@-1=-1@7=7)┤

Найдем общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

{█(x_1 +x_2 -x_3 +2x_4 =3@x_1 +x_2 -x_3 -2x_4 =-1@x_1 +x_2 -x_3 +6x_4 =7)┤ => {█(x_1 +x_2 -x_3 +2x_4 =3@-4x_4 =-4@4x_4 =4)=>┤

{█(x_1 +x_2 -x_3 +2x_4 =3@-4x_4 =-4)┤ => {■(x_1 +x_2 -x_3 +2x_4 =1@x_4 =1)┤

В качестве базисных переменных принимаем x_3 , x_4 , а переменные x_(2, ) x_(1, ) свободными. Тогда находим общее решение (выражаем базисные переменные через свободные):

{█(x_3 =x_1 +x_2 -1@x_4 =1)┤

где x_1 , x_2 любое число

Проверка:

{█(x_1 +x_2 -(x_1 +x_2 -1)+2=3@x_1 +x_2 -(x_1 +x_2 -1)-2=-1@x_1 +x_2 -(x_1 +x_2 -1)+6=7)┤ => {█(3=3@-1=-1@7=7)┤

Для решения системы методом обратной матрицы количество уравнений должно быть равно числу неизвестных.

Задача 3. Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

{█(2x_1 +5x_2 +x_3 +3x_4 =0@(4x)_1 +(6x)_2 +3x_3 +5x_4 =0@4x_1 +14x_2 _x_3 +7x_4 =0)┤

Решение

Запишем расширенную матрицу системы

(A/B) = (├■(2&5&■(1&3)@4&6&■(3&5)@4&14&■(1&7))|■(0@0@0))

Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

(A/B) = (├■(2&5&■(1&3)@4&6&■(3&5)@4&14&■(1&7))|■(0@0@0))

Умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй строке, затем первую строку умножим на (-2) прибавим к третьей строке. Прибавим к второй строке третью. Получим:

(├■(2&5&■(1&3)@4&6&■(3&5)@4&14&■(1&7))|■(0@0@0)) ~ (├■(2&5&■(1&3)@0&-4&■(1&-1)@0&4&-■(1&1))|■(0@0@0)) ~ (├■(2&5&■(1&3)@0&-4&■(1&-1)@0&0&■(0&0))|■(0@0@0))

Запишем систему в привычном виде:

{█((2x)_1 +5x_2 +x_3 +3x_4 =0,@-4x_2 +x_3 -x_4 =0.)┤

В качестве базисных переменных принимаем x_1 , x_2 ,а переменные x_3 , x_4 свободными. Тогда находим общее решение (выражаем базисные переменные через свободные):

{█((2x)_1 =-5x_2 -x_3 -3x_4 ,@x_2 =1/4x_3 -1/4x_4 ;)=>{█((2x)_1 =-5(1/4x_3 -1/4x_4 )-x_3 -3x_4 ,@x_2 =1/4x_3 -1/4x_4 ;)┤┤=>

{█(x_1 =-9/8x_3 -7/8x_4 ,@x_2 =1/4x_3 -1/4x_4 .)┤

Проверка:

{█(2x_1 +5x_2 +x_3 +3x_4 =0@(4x)_1 +(6x)_2 +3x_3 +5x_4 =0@4x_1 +14(x_2 )_(x_3 ) +7x_4 =0)┤=>

{█(2(-9/8x_3 -7/8x_4 )+5(1/4x_3 -1/4x_4 )+x_3 +3x_4 =0@4(-9/8x_3 -7/8x_4 )+6(1/4x_3 -1/4x_4 )+3x_3 +5x_4 =0@4(-9/8x_3 -7/8x_4 )+14(1/4x_3 -1/4x_4 )+x_3 +7x_4 =0)┤=>

{█(-9/4x_3 -7/4x_4 +5/4x_3 -5/4x_4 +x_3 +3x_4 =0@-9/2x_3 -7/2x_4 +3/2x_3 -3/2x_4 +3x_3 +5x_4 =0@-9/2x_3 -7/2x_4 +7/2x_3 -7/2x_4 +x_3 +7x_4 =0)┤ => {█(0=0@0=0@0=0)┤

Ответ:{█(x_1 =-9/8x_3 -7/8x_4 ,@x_2 =1/4x_3 -1/4x_4 .)┤

РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А

перпендикулярно вектору BC . Написать ее общее уравнение, а также

нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P_1 , проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P_1 . Найти расстояние от точки D до плоскости Р.

A (3;-5;2) , B (4;5;1) ,C (-3;0;-4),D(-4;5;-6)

Решение

►Координаты вектора

(ВC)⃗ = {-3-4;0-5;-4-1} = {-7;-5;-5}

Уравнение плоскости, проходящей через точку A (3;-5;2)

перпендикулярно вектору N⃗ = (ВC)⃗ = {-7;-5;-5} ,имеет вид

A (x-x_A ) +B (x-x_A ) +C (z-z_A )=0.

Подставляя найденные значения N⃗ {-7;-5;-5} и координаты точки

и координаты точки A (3;-5;2), получим

-7 (x-3) -5 (y-(-5)) -5 (z-2)=0

или

7x+5y+5z-6=0 –общее уравнение плоскости Р.

Разделим обе части полученного равенства на шесть:

7/6 x+ 5/6 y+ 5/6z=1

Отправляем коэффициенты при переменных x, y и z в знаменатели и получаем требуемое уравнение плоскости в отрезках

7/6 x+ 5/6 y+ 5/6 z=1=> x/(6/7) + y/(6/5) + z/(6/5) =1.

►Получим уравнение плоскости, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки A,B,C. Уравнение плоскости, проходящей через данные точки имеет вид

|■(x-x_A &y-y_A &z-z_A @x_B -x_A &y_B -y_A &z_B -z_A @x_C -x_A &y_C -y_A &z_C -z_A )|=0.

В данном случае

(P_1 ) = |■(x-3&y-(-5)&z-2@4-3&5-(-5)&1-2@-3-3&0-(-5)&-4-2)| =0=> |■(x-3&y-(-5)&z-2@1&10&-1@-6&5&-6)|=0=>

=> (x-3) |■(10&-1@5&-6)| - (y+5) |■(5&-1@-6&-6)| + (z-2) |■(1&10@-6&5)|=0=>

(x-3) ∙ (-55) - (y+5) ∙ (-12) + (z-2)∙65=0=>

55x-12y-65z-95=0– уравнение грани P_1 .

Ответ: 55x-12y-65z-95=0– уравнение грани P_1

►Вычислим угол между плоскостями Р и P_1

cosα= (|A_1 ∙A_2 +B_1 ∙B_2 +C_1 ∙C_2 |)/(√(A_1^2 +B_1^2 +C_1^2 )∙√(A_2^2 +B_2^2 +C_2^2 ))=

= (|55∙7-12∙5-65∙5|)/(√((55)^2 +((-12))^2 +((-65))^2 )√(7^2 +5^2 +5^2 ))

= (|385-60-325|)/(√(3025+144+4225)√(49+25+25)) = 0/(√(7394)√(99))=0

α=arccos0= (90)^0 .

Ответ:α= (90)^0 .

►Расстояние от точки D( x_1 ; y_1 ; z_1 ) до плоскости определяется по формуле .

В данном случае 7x+5y+5z-6=0

d= |(7∙(-4)+5∙5+5∙(-6)-6)/(√(7^2 +5^2 +5^2 ))| = |(-28+25-30-6)/(√(49+25+25))| = (39)/(√(99)) = (13)/(11) √(11)≈3,92.

Ответ: d≈3,92.

Задача 2. Прямая l: {█(x-3y+2z-5=0@2x+5y-3z+2=0)┤: задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М (1;2;3) параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости (Р)2x-3y+4z-6=0.

Решение

►Канонические уравнения прямой:

(x-x_0 )/m = (y-y_0 )/n = (z-z_0 ,)/k

где (x_0 ;y_0 ;z_0 ) – координаты какой-либо точки прямой, s⃗ = {m;n;p} – ее направляющий вектор.

Находим

s⃗ = (n_1 )⃗ × (n_2 )⃗ = |■(i&j&k@1&-3&2@2&5&-3)| =i (9-10) -j (-3-4) +k (5+6)

=-i+7j+11k=> s⃗ = {-1;7;11}.

Найдем какую-либо точку прямой (x_0 ;y_0 ;z_0 ). Пусть x_0 =0, тогда

{█((-3y_0 +2z)_0 -5=0@5y_0 -3z_0 ++2=0)┤ => {█(x_0 =11@z_0 =19)┤

Следовательно, (0;11;19) – координаты точки, принадлежащей прямой.

Канонические уравнения прямой:

x/(-1) = (y-11)/7 = (z-19)/(11).

Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем

x/(-1) = (y-11)/7 = (z-19)/(11)=t,

откуда получаем

{█(x=-t,@y=11+7t,@z=19+11t.)┤

►Очевидно, направляющим вектором прямой x/(-1) = (y-11)/7 = (z-19)/(11) является вектор с координатами {-1;7;11}. Этот же вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку М (1;2;3) , следовательно, ее канонические уравнения имеют вид(x-x_0 )/(-1) = (y-y_0 )/7 = (z-z_0 )/(11) => (x-1)/(-1) = (y-2)/7 = (z-3)/(11).

►Очевидно, прямая x/(-1) = (y-11)/7 = (z-19)/(11) проходит через точкуM_1 (0;11;19) . Вычислим расстояние |M_1 H_1 | от этой точки до прямой - оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая (x-1)/(-1) = (y-2)/7 = (z-3)/(11) проходит через точку M_2 (1;2;3). Обозначим направляющий вектор прямой (x-1)/(-1) = (y-2)/7 = (z-3)/(11) как b⃗, он имеет координаты (1;2;3). Вычислим координаты вектора (M_2 M_1 )⃗ :

(M_2 M_1 )⃗ = {0-1;11-2;19-3} => {-1;9;16} .

Найдем векторное произведение векторов( b)⃗ = (-1;7;11) и (( M)_2 M_1 )⃗ = {-1;9;16} :

b⃗ × (( M)_2 M_1 )⃗ = |■(i&j&k@-1&9&16@-1&7&11)| =i (99-112) -j (-11+16) +k (-7+9)=

=13i-5j+2k= {13;-5;2}

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве:

|M_1 H_1 | = (b⃗×(( M)_2 M_1 )⃗)/(|b⃗|) = (√((13)^2 +(((-5))^2 +2)^2 ))/(√(((-1))^2 +7^2 +(11)^2 )) = (√(198))/(√(171))

Ответ: расстояние между заданными параллельными прямыми равно |M_1 H_1 | ≈1,08..

►Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной данной прямой l.Направляющий вектор прямой {-1;7;11} может служить вектором нормали к плоскости.

Общий вид уравнения плоскости:

Ax+By+Cz+D=0.

Подставляем вместо A,B,C координаты вектора нормали, вместо x,y,z - координаты точки M. Получим:

-1∙1+7∙2+11∙3+D=0

Отсюда D=-46.

Искомая плоскость:

-x+7y+11z-46=0

Точка пересечения данной прямой и полученной плоскости будет проекцией точки М на данную прямую.

t+7 (11+7t) +11 (19+11t)-46=0

t+77+49t+209+121t-46=0

171t=-240

отсюда t=- (80)/(57).

Координаты проекции:

x= (80)/(57) , y=11-7∙ (80)/(57) = (67)/(57) ,z=19-11∙ (80)/(57) = (203)/(57)

Ответ: ((80)/(57);(67)/(57);(203)/(57))

►Чтобы найти точки пересечения прямой{█(x-3y+2z-5=0@2x+5y-3z+2=0)┤ и плоскости2x-3y+4z-6=0 , решим систему уравнений:

{█(x-3y+2z-5=0@2x+5y-3z+2=0@2x-3y+4z-6=0)┤ => {█(x-3y+2z=5@11y-7z=-12@3y=4)┤ => {█(x-3y+2z=5@11y-7z=-12@3y=4)┤

=> {█(x-3y+2z=5@11∙(-4/3)-7z=-12=>@y=-4/3)┤ {█(x-3y+2z=5@z=-8/(11)@y=-4/3)┤=>

=> {█(x-3(-4/3)+2(-8/(11))=5@z=-8/(11)@y=-4/3)┤ => {█(x=(37)/(21)@z=-8/(11)@y=-4/3)┤

((37)/(21);-4/3;-8/(11))- искомая точка пересечения прямой и плоскости.

Ответ: ((37)/(21);-4/3;-8/(11))

РАЗДЕЛ № 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Задача 1Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А, найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам

A (0;4) ,B (-5;-1),C(2;2)

Решение

►Составим уравнения сторон:

AB: (x-x_A )/(x_B -x_A ) = (y-y_A )/(y_B -y_A ) => (x-0)/(-5-0) = (y-4)/(-1-4) => x/(-5) = (y-4)/(-5)=>

=>x-y+4=0=>y=x+4

AC: (x-x_A )/(x_C -x_A ) = (y-y_A )/(y_C -y_A ) => (x-0)/(2-0) = (y-4)/(3-4) => x/2 = (y-4)/(-1)

=>x+2y-8=0=>y=- 1/2x+4

BC= (x-x_B )/(x_C -x_B ) = (y-y_B )/(y_C -y_B ) => (x-(-5))/(2-(-5)) = (y-(-1))/(3-(-1)) => (x+5)/7 = (y+1)/4

=>4x-7y+13=0=>y= 4/7 x+ (13)/7

►Медиана, проведенная из вершины A делит противолежащую сторону ВC треугольника пополам. Найдем координаты точки М середины стороны ВC:

x_M = (x_B +x_C )/2 = (-5+2)/2 =-1,5, y_M = (y_B +y_C )/2 = (-1+3)/2=1.

Получаем M (-1,5;1).

Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, найдем уравнение медианы AM:

(x-x_A )/(x_М -x_A ) = (y-y_A )/(y_М -y_A ),

(x-0)/(-1,5-0) = (y-4)/(1-4) => x/(-1,5) = (y-4)/(-3)=>2x-y+4=0.

|AM| = √(((-1.5-0))^2 +((1-4))^2 ) = √(((-1,5))^2 +((-3))^2 ) = √(2,25+9) = √(11,25)≈3,354.

Ответ:AM:2x-y+4=0; |AM|≈3,354 .

►Составим уравнение высоты, проведенной из вершины A.

Так как AH ^ BC,следовательно k_(AH) =- 1/(k_(BC) ).

Угловой коэффициент прямой AC:

k_(BC) = 8/6 = 4/7.

Следовательно, k_(AH) =- 7/4. Так как прямая AH проходит через вершину A(0; 4), то есть x_1 0; y_1 =4, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:

y- y_1 =k (x-x_1 ).

Уравнение высоты из вершины A:

y-4=- 7/4 (x-0) или y=- 7/4x+4.

Ответ: (AH) :y=- 7/4 x+4 .

►Длину высоты AH найдем как расстояние от точки A(0;4) до прямой BC по формуле

d= (|(Ax)_0 +By_0 +C|)/(√(A^2 +B^2 )).

В нашем случае уравнение прямой BC:

4x-7y+13=0,следовательно

AH= (|4∙0-7∙4+13|)/(√(4^2 +((-7))^2 )) = (|-28+13|)/(√(65)) = (15)/(65) √(65) = 3/(13) √(65)≈1,86.

Ответ: AH≈1,86.

►Так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (теорема о биссектрисе), и используя формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, имеем:

⋏_A = (|AB|)/(|AC|) = (5√(2))/(√(5)) = √(10)

A_K ((x_B +⋏_A x_C )/(1+⋏_A );(y_B +⋏_A x_C )/(1+⋏_A )) = A_K ((-5+2√(10))/(1+√(10));(-1+3√(10))/(1+√(10))) = A_K (0,32;2,04)

Составим уравнения внутренних биссектрис:

(x-0)/(0,32-0) = (y-4)/(2,04-4) => x/(0,32) = (y-4)/(1,96)=>x+0,16y-0,65=0

AK= √(((0,32-0))^2 +((2,04-4))^2 ) = √((0,32)^2 +(1,96)^2 =) √(0,1024+3,8416)=

= √(3,944)≈1,99

Отчет: AK≈1,99

►Так как искомая прямая параллельна прямой BC , то их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент искомой прямой

k_(l_1 ) = k_(BC) = (8-2)/(3-(-5)) = 4/7.

Уравнение прямой запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку A: y- y_A =k (x-x_A ) . Подставив в уравнение координаты точки A(0, 4) и значение k_(BC) =k = 4/7, получим

y-4= 4/7 (x-0) или y= 4/7 x+4.

Аналогично искомую прямую параллельную прямой AC запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку В: y- y_В =k (x-x_В ) . Подставив в уравнение координаты точки A(-5, -1) и значение k_(АC) =k =- 1/2, получим

y- (-1) =- 1/2 (x-(-5)) или y=- 1/2 x+3,5.

Прямую параллельную прямой AВ запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку В: y- y_С =k (x-x_С ) . Подставив в уравнение координаты точки A(2, 3) и значение k_(АC) =k =1, получим

y-3=1 (x-2) или y=x+1.

Ответ:(l_1 ) :y= 4/7 x+4; (l_2 ) :y=- 1/2 x+3,5; (l_3 ) :y=x+1 .

Задача 2. По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер АВ и АС;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) проекцию вектораAB наAC ;

5) объем пирамиды.

A (3;0;2) ,B (2;0;6) ,C (1;1;2)D(3:2:4)

Решение

1)Найдем направляющие векторы ребер

(AB)⃗ = {(x_B -x_A ):(y_B -y_A ):(z_B -z_A )} ={2-3;0-0;6-2}={-1;0;4}

(AC)⃗ = {(x_C -x_A ):(y_C -y_A ):(z_C -z_A )} ={1-3;1-0;2-2}={-2;1;0}

Найдем длину ребра АB и АС

|(AB)⃗| = √(((-1))^2 +0^2 +4^2 ) = √(17)≈4,12;

|(AC)⃗| = √(((-2))^2 +1^2 +0^2 ) = √(5)≈2,24;

Ответ:|(AB)⃗|≈4,12 ед.;|(AC)⃗|≈2,24

2)Угол между рёбрами АВ и АС равен углу между их направляющими векторами. Найдём его по формуле:

Координаты этих векторов:

(AB)⃗ = {-1;0;4} ; (AC)⃗ ={-2;1;0}

Тогда угол α определим из соотношения

cos∝= ((AB)⃗∙(AC)⃗ )/(|(AB)⃗|∙ |(AC)⃗|) = (-1∙(-2)+0∙1-4∙0 )/(√(17)∙ √(5)) = 2/(√(17)∙ √(5)) = 2/(85) √(85)

Тогда ∝=arccos (2/(85)√(85)) ≈ (77,47)^0 .

Ответ: ∝≈ (77,47)^0 .

3) Площадь граниABC находим с помощью векторного произведения векторов. Так как выше найдены координаты векторов

(AB)⃗ = {-1;0;4} ; (AC)⃗ ={-2;1;0}

тогда площадь треугольника находим по формуле

S_(∆ABC) = 1/2 |(AB)⃗×(AC)⃗|.

Найдем векторное произведение векторов

(AB)⃗ × (AC)⃗ = |■(i⃗&j⃗&k⃗@-1&0&4@-2&1&0)| = i⃗ (0-4) - j⃗ (0+8) + k⃗ (-1-0)

=-4 i⃗ -8 j⃗ -1 k⃗

модуль векторного произведения равен

|(AB)⃗×(AC)⃗| = √(((-4))^2 +((-8))^2 +((-1))^2 ) = √(16+64+1)=9

откуда находим площадь треугольника

S_(∆ABC) = 1/2 9=4,5 (кв.ед.)

Ответ: S_(∆ABC) =4,5 (кв.ед.)

4) (ПР)_((AC)⃗) (AB)⃗ = ((AB)⃗(AC)⃗)/((AC)⃗) = (-1∙(-2)+0∙1-4∙0)/(√(5)) = 2/(√(5)) = (2√(5))/5 ≈0,894

Ответ: (ПР)_((AC)⃗) (AB)⃗≈0,894

5) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

V_(пир) = 1/6 |(AB)⃗[(AC)⃗×(AD)⃗]|,

так как выше найдены координаты векторов

(AB)⃗ = {-1;0;4} ; (AC)⃗ ={-2;1;0} и A⃗ D={3-3;2-0;4-2}={0;2;2}

подставим координаты векторов в формулу, получим

V_(пир) = 1/6 |(AB)⃗[(AC)⃗×(AD)⃗]| = 1/6 |■(-1&0&4@-2&1&0@0&2&2)|=

= 1/6 |-1|■(1&0@2&2)|-0∙|■(-2&0@0&2)|-4|■(-2&1@0&2)||=

= 1/6 |-1∙2-0∙(-4)-4∙(-4)| = 1/6 |-2-16| = 1/6 |-18| =3 (куб.ед.)

Ответ: V=3 (куб.ед.)