4 задания по математике

1. Решите системы линейных уравнений

а)

РЕШЕНИЕ

Решим систему методом Гаусса:

Вычтем из второй строки 1-ю, умноженную на 3

Вычтем из 3-й строки 1-ю, умноженную на 2

Вычтем из 4-й строки 1-ю

Поменяем местами вторую и 4-ю строку:

Вычтем из 3-й строки 2-ю

Прибавим к 4-й строке вторую, умноженную на 4

Разделим 3-ю и 4-ю строку на -3:

Вычтем из 4-й строки, умноженной на 2 третью

Разделим 4-ю строку на 17. Вычтем из 3-й строки 4-ю, прибавим ко второй строке 4-ю, умноженную на 4. Вычтем из первой строки 4-ю, умноженную на 3:

Разделим 3-ю строку на 2. Вычтем из 2-й строки третью, вычтем из первой строки 3-ю, умноженную на 2

Вычтем из первой строки вторую

х1=-1 х2=-1 х3=0 х4=1

б)

Решим систему методом Гаусса:

Вычтем из второй строки 1-ю, умноженную на 2

Вычтем из 3-й строки 1-ю

Вычтем из 4-й строки 1-ю

Прибавим к четвертой строке вторую:

Вычтем из 4-й строки третью

Система не имеет решений

в)

Решим систему методом Гаусса:

Поменяем местами первому и третью строку:

Прибавим ко второй строки первую, умноженную на 2

Вычтем из 4-й строки первую, умноженную на 4

Вычтем из 5-й строки первую, умноженную на 2

Вычтем из третьей и пятой строки вторую

Прибавим к 4-й строке вторю.

Получаем систему:

-2х+у+t=-3

3y+2z+5t=-5

Общее решение системы:

х=1.5+0.5у+0.5t

z=-2.5-1.5y-2.5t

2. Вычислите ранг матрицы в зависимости от параметра k:

РЕШЕНИЕ

Вычтем из второй и третьей строки первую:

При k=3: - ранг равен 2

При k=2: - ранг равен 2

При остальных k ранг равен 3

Поменяем местами первую и вторую строку:

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на 2

Вычтем из третьей строки первую

Прибавим к 4-й строке первую, умноженную на k

Поменяем местами третью и вторую строку:

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 2-2k

Прибавим к четвертой строке вторую, умноженную на -4+k

Прибавим к 4-й строке третью

Ранг не может быть равен 2, так как как минимум 4-я строка содержит ненулевой элемент.

Ранг равен 3 если строки 3 и 4 пропорциональны:

(-6+4k)(-6-k)=6(9-6k)

36+6k-24k-4k2=54-36k

4k2-18k+18=0

2k2-9k+9=0

k1,2=

k1=1.5 k2=3

Таким образом, при k1=1.5 и k2=3 ранг равен 3, для остальных k ран равен 4.