Индивидуальные задания.Математика

1. Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

1. В аукционе участвуют 10 добросовестных приобретателей и 2 мошенника, приготовившие для оплаты фальшивые деньги. Случайным образом у одного из них оказывается сумма, большая, чем у других, и он побеждает в торгах. Найти вероятность попытки расплатиться фальшивками.

2. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: ц, а, я, и, к. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на пяти вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «акция».

3. Из колоды карт (52 шт.) вынимается одна карта наугад. Какова вероятность, что это будет туз или дама?

4. Покупатель приобрел акции двух предприятий. Вероятность того, что первое предприятие принесет прибыль в течение года, равна 0,9; а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что оба предприятия принесут прибыль в течение года.

5. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1; зашедшая в магазин женщина – с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и три женщины. Какова вероятность того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?

6. Шесть преподавателей независимо назначают консультации на один из пяти дней недели (с равной вероятностью на любой из этих дней). Какова вероятность того, что в понедельник будет консультация более чем у двух преподавателей?

7. Вероятность того, что взятый кредит не будет возвращен, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 выданных кредитов окажется от 65 до 90 невозвращенных.

8. Преподаватель задает студенту дополнительные вопросы и прекращает задавать вопросы, как только студент не отвечает на вопрос. Всего преподаватель может задать не более трех вопросов. Составить закон распределения случайной величины X – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель, если вероятность того, что студент ответит на дополнительный вопрос, равна 0,8.

9. Случайная величина X задана функцией распределения

Вычислить C, М(X), D(X). Найти вероятность P(–0,8 < X < –0,7). Построить графики плотности f(x) и функции распределения F(x) .

10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–1; 3]. Найти ее дисперсию и вероятность попадания X в интервал [–1/2; 1/2].

11. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия соответственно равны M(X) = 10, D(X) = 16. Найти вероятность попадания X в интервал (2;13).

12. Длительность времени безошибочной работы сотрудника банка в течение рабочего дня имеет показательное распределение с  = 0,2. Найти вероятность того, что за время рабочего дня (t = 8 часов): а) сотрудник ошибется; б) сотрудник не ошибется.

Вариант 2

1. Из полной колоды карт (52 штуки) наудачу извлекается карта. Найти вероятность того, что это будет тройка.

2. На торгах продаются акции 30 предприятий, 5 из которых принесут прибыль в следующем году. Некто покупает три акции. Определить вероятность того, что среди купленных акций не будет прибыльных.

3. Статистические данные, собранные среди студентов одного из вузов, выявили следующие факты: 50 % всех студентов занимаются спортом, 30 % участвуют в научной работе на кафедрах и 10 % занимаются тем и другим. Корреспондент местной газеты подошел к выбранному наугад студенту. Какова вероятность того, что этот студент занимается, по крайней мере, одним из указанных видов деятельности?

4. Вы останавливаете наугад на улице трех человек и спрашиваете, в какой день недели они родились. Найти вероятность того, что все они родились в понедельник

5. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что всё помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10 вопросов, не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первый студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

6. Игральная кость бросается 4 раза. Найти вероятность того, что: шестерка появится: а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.

7. Вероятность опечатки на странице рукописи равна 0,3. В рукописи 210 страниц машинописного текста. Найти вероятность того, что в рукописи не более 50 страниц с опечатками.

8. Торговый агент имеет 5 номеров потенциальных покупателей и обзванивает их по одному разу до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

9. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = х/2 при 0 < х < 2 и f(x) = 0 вне этого интервала. Найти М(X), D(X). Найти функцию распределения F(x), построить графики f(x) и F(x).

10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–1; 4]. Записать ее функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).

11. Производится расчет себестоимости некоторого сложного изделия без систематических ошибок. Случайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадратическим отклонением  = 15 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости будет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 у. е.

12. Случайная непрерывная величина X распределена по показательному закону с  = 0,2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение больше 4.

Вариант 3

1. Студент пообещал, что придет на экзамен, назвав наудачу месяц и число. Найти вероятность того, что это будет воскресенье.

2. В киоске продаются шариковые ручки: 4 черных и 10 синих. Одновременно были куплены 3 ручки. Какова вероятность, что все они синие?

3. Вероятность сдать экзамен по математике на оценку «удовлетворительно» равна 0,6; на «хорошо» – 0,2; на «отлично» – 0,1. Студент, сдавший математику на «хорошо» или «отлично», получит стипендию. Какова вероятность получения стипендии наугад выбранного студента после экзамена по математике?

4. Вероятность получения прибыли во время кризиса предприятием A составляет 0,5; предприятием B – 0,3; а предприятием C – 0,7. Предприятия получают прибыль независимо друг от друга. Какова вероятность, что во время кризиса прибыль будет получена хотя бы одним предприятием?

5. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и соответственно равны 0,6; 0,2; 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, соответственно равна 0,2; 0,4; 0,3. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была вторая касса.

6. Вероятность того, что в коробке с мелом есть сломанные мелки, равна 0,3. Найти вероятность того, что из 5 коробок найдутся 2, содержащие сломанные мелки.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что за 27 выстрелов мишень будет поражена ровно 20 раз.

8. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набирает наугад, не повторяясь. Записать закон распределения случайной величины X – количества наборов номеров до угадывания.

9. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти C, M(X) и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Найти вероятность P(0,5 < X < 0,7). Построить график F(x) и плотности f(x).

10. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равномерно на отрезке [5; 15] млн. у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годовой прибыли этого предприятия?

11. Случайная величина X распределена нормально с M(X) = 1, D(X) = 0,25. Найти, на какую величину значения случайной величины X отличаются от математического ожидания с вероятностью 0,997.

12. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром  = 1/3. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 2 или больше 2?

Вариант 4

1. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 последние цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. В городе 5 добросовестных предпринимателей и 3 мошенника. ОБЭП проверила сразу пять случайно отобранных предпринимателей. Найти вероятность того, что четыре из них будут добросовестными, а один – мошенником.

3. Вероятность вытащить из коробки с карандашами красный карандаш равна – 5/12, синий – 1/3, зеленый – 1/6 и желтый – 1/12. Наугад вынимается один карандаш. Какова вероятность, что его цвет будет красный или желтый?

4. Вероятность приобрести билет на поезд Екатеринбург – Москва непосредственно перед отправлением равна 0,3. Вероятность того, что удастся приобрести билет на поезд Москва – Екатеринбург, который отправляется через неделю, равна 0,5. Какова вероятность, что пассажир, подошедший в кассу непосредственно перед отправлением поезда, приобретет билет на отправляющийся поезд в Москву и билет обратно на поезд из Москвы, отправляющийся через неделю, одновременно?

5. В группе имеется 15 студентов, для которых вероятность успешной учебы в течение года равна 0,9 и 3 студента – с вероятностью успешной учебы 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу студент группы будет успешно учиться в течение года.

6. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет ровно два раза; б) герб выпадет не менее двух раз.

7. Кассир обслуживает 500 покупателей в день. Вероятность ошибки при расчете одного покупателя составляет 0,004. Найти вероятность того, что в течение дня будут неверно рассчитаны более двух покупателей.

8. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. у. е. в компанию A и 15 тыс. у. е. в компанию B. Компания A обещает 50 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания B обещает 40 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Получение прибыли с каждой из компаний считать независимыми событиями. Составить закон распределения случайной величины X – общей суммы прибыли, полученной от двух компаний, найти ее математическое ожидание и дисперсию.

9. Случайная величина X распределена с плотностью

Найти параметр C и вероятность попадания X в интервал (–4; 1,5). Построить графики f(x) и F(x). Найти дисперсию D(X).

10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [–0,5; 2,5]. Найти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [0; 1] или вне этого интервала.

11. Случайная величина X распределена по нормальному закону, M(X) = –1, D(X) = 0,25. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания (M(X) – ; M(X) + ), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997.

12. Тупиковая станция обслуживает потребности предприятия, но принимает и грузы для других потребителей. Число таких вагонов, прибывающих в течение суток, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с  = 0,05. Определить вероятность прибытия на эту станцию в течение суток от 20 до 30 вагонов других потребителей.