Контрольная работа. Экономико-математические методы и модели

Z(X)=2x1+x2-x3min

2x1+x2-x35

x1+2x2+x3≤7

x1-x2+2x3=1

x1 0,x20,x30

Задание 1. Построить двойственную модель к заданной задаче линейного программирования

Задание 2. Преобразовать заданную задачу в стандартную форму

Задание 3. Решить преобразованную задачу графическим методом

Решение

Построим двойственную задачу. Целевая функция в исходной задаче на минимум, следовательно умножим второе неравенство на -1, что бы все неравенства имели знак 0

Z(X)=2x1+x2-x3min

2x1+x2-x35

-x1-2x2-x3-7

x1-x2+2x3=1

x1 0,x20,x30

Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных: (■(2&1&-1@-1&-2&-1@1&-1&2))

Транспонируем матрицу и получаем матрицу коэффициентов для двойственной задачи: (■(2&1&-1@-1&-2&-1@1&-1&2))^Т=(■(2&-1&1@1&-2&-1@-1&-1&2))

Целевая функция двойственной задачи максимизируются, ее коэффициент (5;-7;1).

Ограничения имеют знак ≤,

На переменную у3 не наложено условие неотрицательности, так как последнее ограничение является равенством. Получаем задачу

G(Y)=5y1-7y2+y3

2y1-y2+y3≤2

y1-2y2-y3≤1

-y1-y2+2y3≤-1

y1, y20

Задание 2. Запишем стандартную форму исходной задачи

Из третьего ограничения х3=0,5-0,5x1+0.5x20

Исключим переменную х3 из целевой функции и первых ограничений:

Z(X)=2x1+x2-(0,5-0,5x1+0.5x2)=-0.5+2.5x1+0.5x2min

2x1+x2-x3 =2x1+x2-(0,5-0,5x1+0.5x2)= -0.5+2.5x1+0.5x25

x1+2x2+x3 =x1+2x2+(0,5-0,5x1+0.5x2)= 0.5+0.5x1+2.5x2≤7

Окончательно получаем:

Z(X)=-0.5+2.5x1+0.5x2min

2.5x1+0.5x25,5

-0.5x1-2.5x2-6,5

-0,5x1+0.5x2-0,5

х1,х20

Задание 3. Решим получившуюся задачу графически. Построим область допустимых решений, для этого изобразим прямые:

(1) 2.5x1+0.5x2=5,5

(2) -0.5x1-2.5x2=-6,5

(3) -0,5x1+0.5x2=-0,5

Выделяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам. Область допустимых решений – АВС.



Строим вектор целевой функции (2,5;0,5).

Строим прямую, перпендикулярную этому вектору и проходящую через начало координат. Сдвигаем прямую до первой точки пересечения с областью допустимых решений – это точка А, ее координаты:

2.5x1+0.5x2=5,5

-0,5x1+0.5x2=-0,5

х1=2 х1=1 х3=0,5-0,5x1+0.5x2=0,5-1+0,5=0

Z=-0.5+2.5+0.51=5

Ответ: Zmin(1;2;0)=5