Контрольная работа. Математика 69фап

1. Провести полное исследование функции и построить её график: .

Решение.

1). Область определения функции:

2). Исследуем функцию на четность и нечетность.

, поэтому функция ни четная, ни нечетная.

3). Функция не периодическая.

4). Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Точка не входит в область определения функции, поэтому точек пересечения с осью ординат не существует.

При получим , , . Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точке .

5). Находим стационарные точки и интервалы монотонности, используя первую производную.

;

, то , , – стационарная точка.

Находим значение функции в стационарной точке: .

Учитывая область определения функции, проводим исследование при помощи вспомогательной таблицы:

2

+ – 0 +

ä æ 3 ä

минимум

Следовательно, – точка минимума.

6). Находим точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости при помощи второй производной:

; .

Уравнение не имеет решений, поэтому точек перегиба нет. Более того, вторая производная положительна при любом значении аргумента из области определения, поэтому функция вогнута на всей области определения.

7). Находим асимптоты, если они существуют.

а). Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.

, поэтому есть правосторонней вертикальной асимптотой при бесконечном удалении функции вниз;

, поэтому есть левосторонней вертикальной асимптотой при бесконечном удалении функции вниз.

б). Исследуем функцию на наличие горизонтальных асимптот.

, т.е. горизонтальных асимптот нет.

в). Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.

;

.

Следовательно, – наклонная асимптота.

2. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид…

Решение.

Из числа имеем: , .

Используя формулы перехода и , , получим:

и , ;

, .

Итак, .

Ответ: .

3. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

Используем свойства интегралов:

.

Ответ: .

4. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

Используем метод замены переменной:

.

Ответ: .

5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

Используем метод подведения под знак дифференциала:

.

Ответ: .

6. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

.

Ответ: .