Контрольная работа. Прикладная математика

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.

5 2х3 - 5х2 +5х - 12 = 0 [ 2;6 ]

Решение.

Приближенное решение уравнений

Отделение корней. Уточнение корней

Постановка задачи

В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид

f(x)=0, (1)

где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число * (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество:

f(*)*0 (2)

называется корнем уравнения или его решением.

Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [*,*] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения;

2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [*,*] с заданной точностью *.

I. этап «Отделение корней».

Построим график функции f(x) = 2х3 - 5х2 +5х - 12 на отрезке [a,b] и отделим корни графически. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения (рис.1).



x y

2 -6

2,5 0,5

3 12

3,5 30

4 56

4,5 91,5

5 138

5,5 197

6 270





Рис. 1. График функции f(x) = 2х3 - 5х2 +5х - 12 на отрезке [a,b].

Так как f(a)f(b) = f(2)∙f(4) = -6∙270 = -1620 < 0, то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней, по графику видно, что корень единственный.

II. этап «Уточнение корней»

Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.

Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью *) имеет вид

*x(к+1) - x(к)*=< *, k = 0,1,2,3,… .

Уточнение корней методом Ньютона

Опишем процедуру уточнения корня , который отделён и находится на отрезке . Уточнение корня проведём, используя итерационную формулу Ньютона

,

где – приближение к корню на k-ом шаге (на k-ой итерации), . В пределе: при .

Начальное приближение – это любая точка из отрезка , удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

.

Обычно в качестве значения используют либо левый, либо правый конец отрезка .

В нашем случае: .

Вычислим первую и вторую производные функции:

,

.

Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

,

приведем дроби к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение:



.



В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости:

- не выполняется.

Выберем в качестве начального приближения .

Проверяем условие сходимости:



Условие сходимости метода Ньютона для х0 = 3 выполнено.

Последовательно применяя итерационное уравнение, получим:

;

;

.

Уточнённое значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата используем величину:

.