Контрольная работа. Введение в физику

Вариант №6

6.1. Найти модуль разности векторов и косинус угла a между векторами и . Ответ округлить двух значащих цифр.

Определим проекции каждого из векторов на координатные оси, для чего из координаты конца вектора вычтем координаты его начала:

м, м

м, м

Модуль вектора м

6.2.

Найти модуль суммы векторов и модуль векторного произведения . Ответ округлить до двух значащих цифр.

Определим проекции каждого из векторов на координатные оси, для чего из координаты конца вектора вычтем координаты его начала:

м, м

м, м

Модуль вектора м

Векторное произведение

6.3. Найти значение производной от функции в точке с координатой х=1.

Найдем производную:

Значение производной от функции в точке с координатой х=1:

Ответ:

6.4. Найти частные производные и функции

Ответ: ,

6.5. Найти градиент функции u=f(x,y,z) в точке М u=ln(3-x2)+xy2z M(1,3,2)

Градиент функции

.

Вычислим проекции (координаты) градиента на оси координат:

Таким образом,

Ответ:

Вариант 10.

10.1. Частица движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону , где А, В, С - постоянные величины, – единичные орты в декартовой системе координат. Найдите тангенс угла, под которым будет направлена скорость v к оси х в момент времени t=1 c. если τ=1 с,А= 2 м, В = 3 м, С = 4 м.



а) 6,0; б) 5,0 ; в) 4,0 ; г) 3,0 ; д) 2,0;

Дано:

τ =1 с,

А= 2 м,

В = 3 м,

С = 4 м.

t=1 c

Определить:

Решение:

Из заданного закона движения определяем

По определению мгновенная скорость, - первая производная координаты по времени.

Соответственно проекции скорости:



Вектор скорости - лежит в плоскости xy

Ответ: д) 2,0

10.2. Частица движется так, что ее скорость зависит от времени по закону

, где А, В - постоянные величины, - единичные орты в декартовой системе координат. Через сколько секунд ускорение частицы будет перпендикулярно оси x, если с, А = 5 м/с, В = 7 м/с.

а) 0,357 c; б) 0,557 c ; в) 0,757 c; г) 0,957 c; д) 1,57 c ;

Дано:

с,

А = 5 м/с,

В = 7 м/с

Определить: t

Решение:

Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю. В нашем случае проекция вектора ускорения на ось x будет равна нулю

По определению ускорение - первая производная скорости по времени.

Соответственно проекция ускорения:



с

Ответ: a) 0,357 с

10.3. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зависит от времени по закону , где А, В– постоянные величины, - единичные орты в декартовой системе координат. Какой путь проделает частица за время t=1 c, если τ=1 с. А= 2 м/с, В=3 м/с.

а) 0,20 м; б) 1,20 м; в) 3,20 м; г) 5,20 м; д) 7,20 м;

Дано:

t=1 c,

τ=1 с

А= 2 м/с,

В=3 м/с

х0=0

у0=0

Определить: s

Решение:

По определению мгновенная скорость , - первая производная координаты по времени.

В нашем случае ,

Соответственно координаты точки тогда можно определить, как

Подставляем данные: м

Ответ: б) 1,20 м

10.4. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону , где А, В– постоянные величины, - единичные орты в декартовой системе координат. Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 4 м/с, В =5 м/с2.

а) 1,27 м/с: б) 2,27 м/с; в) 3,27 м/с; г) 4.27 м/с; д) 5,27 м/с;

Дано:

А=4 м/с

В=5 м/с2

t=1 c

Определить: v

Решение:

По определению ускорение - первая производная скорости по времени.

Соответственно проекции ускорения:



Тогда скорость

Интегрируем:

, где

м/с

м/с

Скорость м/с

Ответ: г) 4,27 м/с

10.5. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса R = 1 м со скоростью, модуль которой зависит от времени по закону . Найти отношение нормального и тангенциального ускорения частицы через время t =1с. если А = 4 м/с

а) 2; б) 3; в) 4; г) 5 ; д) 6;

Дано:

R = 1 м

t=1 c



А = 4 м/с

Найти: аn / aτ

Решение:

Нормальная составляющая ускорения ап:

Тангенциальная составляющая ускорения аt, , где e - угловое ускорение.

Угловая скорость

Угловое ускорение

Тогда

Ответ: в) 4

10.6. Диск радиуса м вращался вокруг своей оси с угловой скоростью . В момент времени его угловое ускорение стало возрастать по закону . Какую угловую скорость будет иметь диск через время t =1 с. τ=1 с, А = 2 c–2, =3 с–1.

а) 11,7 рад/с; б) 9,7 рад/с; в) 7,7 рад/с; г) 5,7 рад/с; д) 3,7 рад/с;

Дано:

τ=1 с

А = 2 c–2,

с–1

t =1 с

Определить: ω

Решение:

Угловое ускорение

рад/с

Ответ: д) 3,7 рад/с