Метод оптимальных решений

Вариант_4.

Ситуация 1

Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций Z= x^2 - y^2 при условии x+y=6.

Решение.

Составим функцию Лагранжа:

L= x^2 - y^2 +λ (x+y-6)

Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

{█((∂L)/(∂x)=2x+λ=0@(∂L)/(∂y)=-2y+λ=0@(∂L)/(∂λ)=x+y-6=0)┤

Выразим из первого x, а из второго y и подставим в третье уравнение системы:

x+y-6=0

- λ/2 + λ/2-6=0

-6≠0

Данная система решений не имеет. Следовательно, условных экстремумов функции Z= x^2 - y^2 при условии x+y=6 не существует.

Ситуация 2

Распределить Т=100 тыс. ден. ед. по четырем предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в зависимости от вложенных средств заданы таблицей

Х g_1 g_2 g_3 g_4

20 14 17 22 20

40 26 20 21 33

60 35 32 37 46

80 52 61 67 30

100 61 72 58 42

Решение.

I этап. Условная оптимизация

1-й шаг. k=4. Предполагаем, что все средства 100 ден. ед. переданы на инвестирование четвертому предприятию. В этом случае максимальная прибыль составит F_4 ( C_4 )=42, см. табл. 1.

Таблица 1

C_4 X_4 F_4 ( C_4 ) X_4^*

0 20 40 60 80 100

0 0 - - - - - 0 0

20 - 20 - - - - 20 20

40 - - 33 - - - 33 40

60 - - - 46 - - 46 60

80 - - - - 30 - 30 80

100 - - - - - 42 42 100

2-й шаг. k=3, Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое, второе и третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид

F_3 (C_3 ) = max 〖{g_3 (x_3 )+F_4 (C_3 -x_3 )}〗

На его основе рассчитываются данные табл.2.

Таблица 2

C_3 X_3 F_3 ( C_3 )

0 20 40 60 80 100

0 0+0 - - - - - 0

20 0+20 22+0 - - - - 22

40 0+33 22+20 21+0 - - - 42

60 0+46 22+33 21+20 37+0 - - 55

80 0+30 22+46 21+33 37+20 67+0 - 68

100 0+42 22+30 21+46 37+33 67+20 58+0 87

3-й шаг. k=2. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и второе предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид

F_2 (C_2 ) = max 〖{g_2 (x_2 )+F_3 (C_2 -x_2 )}〗

На его основе находятся данные табл. 3.

Таблица 3

C_2 X_2 F_2 ( C_2 )

0 20 40 60 80 100

0 0+0 - - - - - 0

20 0+22 17+0 - - - - 22

40 0+42 17+22 20+0 - - - 42

60 0+55 17+42 20+22 32+0 - - 59

80 0+68 17+55 20+42 32+22 61+0 - 72

100 0+87 17+68 20+55 32+42 61+22 72+0 87

4-й шаг. k=1. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид

F_1 (C_1 ) = max 〖{g_1 (x_1 )+F_2 (C_1 -x_1 )}〗

На его основе находятся данные табл. 4.

Таблица 4

C_1 X_1 F_1 ( C_1 ) X_1^*

0 20 40 60 80 100

0 0+0 - - - - - 0 0

20 0+22 14+0 - - - - 22 0

40 0+42 14+22 26+0 - - - 42 0

60 0+59 14+42 26+22 35+0 - - 59 0

80 0+72 14+59 26+42 35+22 52+0 - 73 20

100 0+87 14+72 26+59 35+42 52+22 61+0 87 0

II этап. Безусловная оптимизация

1-й шаг. По данным расчетных таблиц максимальный доход при распределении 100 ден. ед. между четырьмя предприятиями составляет F_1 (6)=87. При этом первому предприятию нужно выделить x_1 =0 ден. ед.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго, третьего и четвертого предприятий:

C_2 = C_1 - x_1^* =100-0=100

По данным из расчетной таблицы 3 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 100 ден. ед. между вторым, третьим и четвертым предприятиями составляет F_2 (6)=87 ден. ед. при выделении второму предприятию x_2 =0 ден. ед.

3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятий:

C_3 = C_2 - x_2^* =100-0=100

По данным из расчетной таблицы 2 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 100 ден. ед. между третьим и четвертым предприятиями составляет F_3 (6)=87 ден. ед. при выделении второму предприятию x_3 =80 ден. ед.

4-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю четвертого предприятия:

C_4 = C_3 - x_3^* =100-80=20

По данным из таблицы 1 находим F_4 (2) =20 ден. ед. и x_4^* =20 ден. ед. Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий X^* = (0;0;80;20), обеспечивающий максимальный доход, равный

F (100) = g_1 (0) + g_2 (0) + g_3 (80) + g_4 (20) =0+0+67+20=87 ден. ед.