Методология научных исследований. Курсовая работа

Задание

на курсовую работу по дисциплине

«Методология научных исследований»

Тема: «Деформирование стержня поперечной нагрузкой »

Балка длиной ℓ =3,0 м имеет поперечное сечение в виде прямоугольника с размерами в×h =200 ×400 мм, шарнирно опирается по концам и нагружена двумя

сосредоточенными силами F=5,0 МН, как показано на рисунке. Модуль упругости материала Е =2,06 105 МПа, коэффициент Пуассона µ=0,25.

○ – точки А,

× - точки В,С,D,E,F.

Рис.1.

Требуется:

1 Для точки А с координатами, в соответствии с вариантом, определить нормальные и касательные напряжения, действующие в следующих площадках:

а) перпендикулярных координатным осям x,y,

б) имеющих наклон к оси x 450 и 1350,

в) главных площадках – напряжения σmax, σmin.

Определить деформации ε в направлениях, перпендикулярных этим площадкам. Представить площадки с напряжениями и деформациями на рисунках, причем

длины векторов, указывающих напряжения или деформации должны быть пропорциональны численному значению величин.

Координаты точки А:

Вариант №

Координаты x,y точки А

1

х=0,15ℓ, y=0,3h

2

х=0,30ℓ, y=0,3h

3

х=0,70ℓ, y=0,3h

4

х=0,85ℓ, y=0,3h

5

х=0,15ℓ, y=-0,3h

6

х=0,30ℓ, y=-0,3h

7

х=0,70ℓ, y=-0,3h

8

х=0,85ℓ, y=-0,3h

2 Для точек B,C,D,E,F с координатами: В (0,15 ℓ;0), С (0,30 ℓ; -0,2 h), D (0,5 ℓ; -0,30 h), Е (0,7 ℓ; -0,2h), F (0,85 ℓ; 0)

Определить главное напряжение σmax и площадку его действия. Показать их на рисунке балки.

Приближенно провести траекторию главных напряжений – кривую, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением действия напряжения σmax.

3 Описать словами деформирование балки.

К выполнению работы.

При исследовании деформирования балки принимаются следующие гипотезы:

1 Гипотеза плоских сечений – при деформировании балки её поперечные сечения остаются плоскими.

2 Гипотеза о ненадавливании продольных волокон друг на друга.

3 Материал балки принимается идеально упругим.

На основе этих гипотез получены формулы для определения нормальных и касательных напряжений, возникающих в любой точке поперечного сечения – в

площадках, перпендикулярных оси х.

y , ,

где Mz, Qy – изгибающий момент и поперечная сила, возникающие в поперечном сечении,

– момент инерции поперечного сечения относительно его главной

центральной оси инерции Z , y – координата точки, в которой определяется напряжение,

- статический момент отсеченной части поперечного сечения

относительно оси z (отсекающая линия проходит через точку, в которой определяется напряжение, параллельно оси z), в – ширина поперечного сечения (длина

отсекающей линии).

В продольных сечениях балки – в площадках, перпендикулярных оси y – нормальные напряжения равны нулю, а касательные

по закону парности.

В площадках, перпендикулярных оси z, напряжения равны нулю – имеет место плоское напряженное состояние.

Определение напряжений в наклонных площадках.

По граням элементарного параллелепипеда, вырезанного координатными площадками – площадками, перпендикулярными координатным осям – в общем случае

действуют нормальные и касательные напряжения σх, σy и

(рис.2)

Наклонным сечением 1-1 отсечем часть параллелепипеда и из рассмотрения её равновесия найдём нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке σv

и

Рис.2

Площади граней, перпендикулярных осям, равны Ax, Ay, Av.

Уравнение равновесия

Σν=0: σνAν =σxAx

+σyAy

+

(Ax

Ay

).

Разделив уравнение на Av и учтя, что

,

, получаем

. (1)

Уравнение равновесия

Ση=0:

Или:

(2)

Равенства (1) и (2) определяют напряжения в наклонной площадке – площадке с нормалью

образующей с осью X угол α.

Определение главных площадок и главных напряжений.

Среди множество площадок, которые можно провести через данную точку, можно всегда отыскать две взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные

напряжения равны нулю, а нормальные принимают экстремальные значения: в одной – максимальное

, в другой – минимальное

. Площадки эти и

действующие в них напряжения называются главными. Чтобы найти главные площадки, исследуем функцию

на max, min.

: 2σx

+2σy

+

или: (σy- σх)

+2

,

откуда: tg2α= . (3)

Здесь α – угол, определяющий направление главной площадки; отмеряется от оси X к оси ν против часовой стрелки.

Подставляя найденный угол α и α+90° в выражение (1), находим главные напряжения max и min.

Если в уравнение (1) подставить:

И учесть равенство (3), то можно получить формулу для определения главных напряжений по напряжениям в координатных площадках (без определения угла α)

(4)

Определение деформаций.

Принятые гипотезы позволяют считать, что при изгибе продольные волокна балки испытывают центральное растяжение или сжатие в направлении оси Х. При

идеально упругом материале продольная деформация в этом случае определяется по закону Гука:

εх=

где Е – модуль упругости материала.

При этом возникает и поперечная деформация. Она противоположна продольной по знаку, и ее величина определяется коэффициентом Пуассона μ:

εх=- μεх=- μ

В наклонных площадках с нормалями ν и η действуют нормальные напряжения

и

. Возникает плоское напряженное состояние. Деформации будут равны:

εν=,

εη=.

В направлении действия главных напряжений возникают деформации:

εmax=,

εmin=.

Эти деформации тоже называются главными. В изотропном теле направления главных напряжений и главных деформаций совпадают.