Основы инженерно-исследовательской деятельности. Практическое задание

Тема «Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов»

Формулировка задания 1.1. Методом наименьших квадратов для данных, представленных в табл. 1, найти линейную зависимость y = ax + b.

Таблица 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8

xi 5 4 3 2 1 0 –1 –2

yi 15,23 10,42 7,12 3,10 –0,39 –4,19 –7,37 –11,14

Параметры a и b находим методом наименьших квадратов, решив следующую систему уравнений:

{█(a∑▒x_i^2 +b∑▒x_i =∑▒x_i y_i @a∑▒x_i +bn=∑▒y_i )},

где суммирование ведется по i от 1 до n, n = 8. Составим расчетную табл. 2.

Таблица 2

i xi yi x_i^2 xiyi

1 5,0 15,23 25 76,15

2 4,0 10,42 16 41,68

3 3,0 7,12 9 21,36

4 2,0 3,10 4 6,2

5 1,0 -0,39 1 -0,39

6 0,0 -4,19 0 0

7 -1,0 -7,37 1 7,37

8 -2,0 -11,14 4 22,28

Сумма 12 12,78 60 174,65

Получаем следующую систему:

{█(60a+12b=174,65@12a+8b=12,78)},

откуда находим a = 3,702 , b = -3,955, то есть получаем функцию

y = 3,702x – 3,955.

Формулировка задания 1.2. Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам приведена в табл. 3.

Таблица 3

Год 1 2 3 4 5

Прибыль 3,5 4,5 3,0 1,0 1,5

1)Составьте линейную зависимость прибыли по годам деятельности фирмы.

2) Определите ожидаемую прибыль для 6-го года деятельности. Сделайте график полученной функции и нанесите точки, обозначенные в исходных данных.

Обозначим прибыль за y, а год за x. Параметры a и b линейной зависимости y = at + b можно найти методом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:

{█(a∑▒t_i^2 +b∑▒t_i =∑▒t_i y_i @a∑▒t_i +bn=∑▒y_i )},

где суммирование ведется по i от 1 до 5. Составим расчетную табл. 4.

Таблица 4

ti yi t_i^2 tiyi

1 3,5 1 3,5

2 4,5 4 9

3 3 9 9

4 1 16 4

5 1,5 25 7,5

Сумма 15 13,5 55 33

Получаем следующую систему:

{█(55a+15b=33@15a+5b=13,5)}.

Отсюда находим, что a = –0,75, b = 4,95, то есть получаем функцию

y = –0,75t + 4,95.

Определим ожидаемую прибыль от 6-го года деятельности:

y (6) =-0,75·6+4,95= 0,45.