Программирование на языках высокого уровня. Тесты

Билет 8.

1. Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число

уравнений равно числу неизвестных и det A ≠ 0 . Метод удобен для

решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении

свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

(1)

...

..............................................

...

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1















   

   

   

n n nn n n

n n

n n

а х а х а x b

а х а х а x b

а х а х а x b

Составим матрицы:































n n nn

n

n

a a a

a a a

a a a

A

...

... ... ... ...

...

...

1 2

21 22 2

11 12 1

, которую назовем матрицей системы;































bn

b

b

B

...

2

1

–матрица-столбец свободных членов;































n

x

x

x

X

...

2

1

– матрица-столбец неизвестных.

С учетом введенных обозначений систему уравнений (1) можно

записать в матричном виде: AX = B. Умножая обе части равенства

слева на матрицу

1 A , получим:

A * A* X A *B

1 1

 , т.к. А-1

⋅А = Е, то Е⋅Х

= А-1

⋅В, и окончательно решение системы вычисляется по формуле: Х

= А-1

⋅В.

Для применения данного метода необходимо найти обратную

матрицу, что возможно только для невырожденных матриц,

определитель которых отличен от нуля.

2. Параметрический и канонический вид прямой в пространстве.

Прямая в пространстве есть пересечение двух плоскостей, она

может быть задана различными способами.

Задание прямой с помощью направляющего вектора

Пусть заданы: 1) точка М0(x0, y0, z0), принадлежащая прямой

(начальная точка), или

0

r = (x0, y0, z0) — радиус-вектор точки М0;

2) ненулевой вектор q(l, m, n), параллельный прямой (L), называемый

направляющим вектором прямой.

Если M (x, y, z) — текущая точка плоскости, а r (x, y, z) — радиусвектор точки М, то принадлежность точки М прямой (L) равносильна

условию коллинеарности векторов:

0 0 М М  r  r

и вектора

q . Тогда

справедливы уравнения:

а) каноническое уравнение прямой:

x x0

,

l

б) параметрическое уравнение прямой в векторной форме:

r  r0  tq  r  r0  tq

в) параметрическое уравнение прямой в координатной форме:











 

 

 

z z t n

y y t m

х х t l

*

*

*

0

0

0

3. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между

фокусами равно 8, а малая полуось равна 3.

Решение:

Малая полуось равна 3, т. е. полуось b= 3.

Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат

фокусов равно 4.

5

25

16 9

4 3

2

2

2 2 2

2 2 2





 

 

 

a

a

a

a

c a b

Результат - каноническое уравнение эллипса:

1

25 9

1

2 2

2

2

2

2

 

 

x y

b

y

a

x

Ответ:

1

25 9

2 2

 

x y

4. Вычислить расстояние от точки К(-1,1,-2) до плоскости, проходящей

через три точки:

(1, 1,1), ( 2,1,3), (4, 5, 2). М1  М2  М3  

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

Подставим координаты точек

(1, 1,1), ( 2,1,3), (4, 5, 2). М1  М2  М3  

4( 1) 0( 1) 6( 1) 0

( 1)( 4 8) ( 1)(6 6) ( 1)(12 6) 0

0

3 4 2

3 2 2

1 1 1

0

4 1 5 1 1 1

2 1 1 1 3 1

1 1 1

     

         



 



  



    

   

  

x y z

x y z

x y z

x y z

и раскрывая определитель, получим:

4x  0y  6z 10  0

сокращай на 2, получим:

2x  0y  3z 5  0

Расстояние от точки

( , , ) 0 0 0 0 M x y z

до плоскости Ax+By+Cz+D=0 равно

2 2 2

0

A B C

Axo Byo Cz D

 

  

 

здесь

A  2, B  0, C  3, D  5, x0  1, y0 1, z0  2

Таким образом,

13

13

13

2 0 3

2*( 1) 0*1 3*( 2) 5

2 2 2







 

    

 

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно

  13 .