Решение задач.Вычислительная математика

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ............................................................................................................... 6

1 Решение уравнений с одной переменной ...................................................... 8

1.1 Отделение корней ...................................................................................... 8

1.2 Интервальные методы поиска корней ................................................... 10

1.2.1 Метод перебора ................................................................................... 10

1.2.2 Метод дихотомии (метод половинного деления) ........................... 11

1.2.3 Метод хорд .......................................................................................... 14

1.2.4 Метод золотого сечения ..................................................................... 17

1.3 Итерационные методы поиска корней ................................................... 20

1.3.1 Метод Ньютона ................................................................................... 20

1.3.2 Метод итераций .................................................................................. 23

1.4 Комбинированный метод ........................................................................ 27

1.5 Задачи для самостоятельного решения ................................................. 29

2 Решение задач линейной алгебры ................................................................ 31

2.1 Методы решения систем линейных уравнений .................................... 31

2.1.1 Метод Гаусса ....................................................................................... 31

2.1.2 Метод ортогонализации ..................................................................... 33

2.1.3 Метод декомпозиции (схема Халецкого) ......................................... 36

2.1.4 Метод простой итерации ................................................................... 38

2.1.5 Метод Зейделя .................................................................................... 41

2.2 Решение переопределенной системы .................................................... 43

2.3 Вычисление определителей .................................................................... 45

2.4 Вычисление обратной матрицы ............................................................. 49

2.5 Задачи для самостоятельного решения ................................................. 51

3 Приближение функций .................................................................................. 54

3.1 Постановка задачи ................................................................................... 54

3.2 Алгебраическое интерполирование ....................................................... 56

3.2.1 Формула Ньютона для равномерной сетки ..................................... 56

3.2.2 Формула Ньютона для неравномерной сетки.................................. 60

3.2.3 Формула Лагранжа для неравномерной сетки ................................ 61

3.2.4 Формула Лагранжа для равномерной сетки .................................... 63

3.3 Аппроксимация тригонометрическими функциями ............................ 63

3.4 Приближение функций полиномами Лежандра ................................... 67

3.5 Полиномы Чебышева .............................................................................. 69

3.6 Задачи для самостоятельного решения ................................................. 72

4 Численное дифференцирование ................................................................... 75

4.1 Формулы Ньютона ................................................................................... 75

4.2 Формула Лагранжа .................................................................................. 78

4.3 Задачи для самостоятельного решения ................................................. 82

5 Численное интегрирование ........................................................................... 84

5.1 Формулы трапеции и Симпсона ............................................................. 84

5.2 Формулы прямоугольников .................................................................... 88

5.3 Правило Рунге оценки остаточного члена ............................................ 90

5.4 Формула Гаусса ........................................................................................ 91

5.5 Задачи для самостоятельного решения ................................................. 94

6 Задание на контрольную работу ................................................................... 96

6.1 Решение уравнений с одной переменной .............................................. 96

6.2 Решение задач линейной алгебры .......................................................... 98

6.2.1 Решение систем линейных уравнений ............................................. 98

6.2.2 Вычисление определителей матриц ............................................... 102

6.2.3 Вычисление обратной матрицы ...................................................... 102

6.3 Приближение функций.......................................................................... 103

6.4 Численное дифференцирование ........................................................... 105

6.5 Численное интегрирование ................................................................... 106

7 Задание на лабораторную работу № 1 ....................................................... 109

7.1 Решение задач линейной алгебры ........................................................ 109

7.1.1 Решение систем линейных уравнений ........................................... 109

7.1.2 Вычисление определителей матриц ............................................... 113

7.1.3 Вычисление обратной матрицы ...................................................... 113

8 Задание на лабораторную работу № 2 ....................................................... 115

8.1 Приближение функций.......................................................................... 115

8.2 Численное дифференцирование ........................................................... 117

8.3 Численное интегрирование ................................................................... 118

Ответы к задачам для самостоятельного решения ...................................... 120

Литература ....................................................................................................... 127

Приложение А Шаблон отчета по контрольной

и лабораторным работам ............................................................................ 128