Теоретическая механика. Система сходящихся сил

Дано: P = 11 кН, AC = 72 см

Найти реакции опор (в кН).

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АС. На балку действует активная силы Р.

Отбросим связи, заменив их действие реакциями связей. Реакция

Шарнирно неподвижной опоры А неизвестна, реакция в точке опирания С перпендикулярна стержню.

1. Аналитический метод.

Вводим декартовую систему координат и составляем уравнение равновесия в проекциях на оси

∑FkX = 0 P – RB sin α – RA cos (α + β) = 0

∑FkY = 0 RB cos α – RA sin (α + β) = 0

Определяем характеристики углов

sin α = (BD)/(BA) = (BD)/(√((AD)^2 + (BD)^2 )) = (48)/(√((36)^2 + (48)^2 )) = 0,8

cos α = √(1- sin^2 α) = √(1- (0,8)^2 ) = 0,6 α ≈ 53°

BC = AC – AB = AC - √((AD)^2 + (BD)^2 ) = 72 - √((36)^2 + (48)^2 ) = 12 см

∠OBC = 90° => OB = BC tg α = 12 (0,8)/(0,6) = 16 см

sin β = (OB)/(OA) = (OB)/(√((OB)^2 + (AB)^2 )) = (16)/(√((16)^2 + (60)^2 )) = 0,26

cos β = √(1- sin^2 β) = √(1- (0,26)^2 ) = 0,97

β ≈ 15°

Решаем системы уравнений

{█(11- R_B ∙0,8-R_A cos 〖(53°+15°)〗=0@R_B ∙0,6-R_A sin 〖(53°+15°)〗=0 )┤

{█(11-0,8R_B - 0,37R_A =0@0,6R_B -0,93R_A =0 )┤

13,75 – RB – 0,46RA = 0

RB – 1,55RA = 0

13,75 – 2,01RA = 0

RA = 6,84 кН

RB – 1,55 ∙ 6,84 = 0

RB = 10,6 кН

2) Геометрический метод

P̅ + (R_A )̅ + (R_B )̅ = 0

Треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут.

Строим силовой треугольник. Построение начнём в произвольной точке плоскости с известной по модулю и направлению силы Р. Через начало вектора силы Р и его конец проводим прямые, параллельные реакциям неподвижного шарнира А и опорной поверхности В.

По теореме синусов

(R_A )/(sin 〖(90°- α)〗) = (R_B )/(sin 〖(α+ β)〗) = P/(sin 〖(90°- β)〗)

RA = (Psin 〖(90°- α)〗)/(sin 〖(90°- β)〗) = (11sin 〖(90°- 53°)〗)/(sin 〖(90°- 15°)〗) = (11sin 〖37°〗)/(sin 〖75°〗) = 6,85 кН

RB = (Psin 〖(α+ β)〗)/(sin 〖(90°- β)〗) = (11sin 〖(53°+15°)〗)/(sin 〖(90°- 15°)〗) = (11sin 〖68°〗)/(sin 〖75°〗) = 10,56 кН

Вычисляем погрешность

∆RA = (6,85-6,84)/(6,85) 100% = 0,15%

∆RB = (10,6-10,56)/(10,6) 100% = 0,38%

Ответ: RA = 6,85 кН; RB = 10,6 кН