Тест по вычислительным методам

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Лекция 1

Введение. Основные этапы решения прикладных задач с использованием компьютеров, вычислительные задачи, методы, алгоритмы, корректность вычислительной задачи, обусловленность вычислительной задачи, анализ ошибок. Классификация численных методов.

ВВЕДЕНИЕ

Эпиграф из [1]: "Из нашего девиза "Цель расчетов — не числа, а понимание", следует, что человек, который должен этого понимания достигнуть, обязан знать, как происходит вычисление. Если он не понимает, что делается, то очень маловероятно, чтобы он извлек из вычислений что-нибудь ценное. Он видит голые цифры, но их истинное значение может оказаться скрытым в вычислениях".

Основные этапы решения прикладных задач с использованием компьютеров

1. Постановка проблемы — формулировка на языке предметной области.

2. Выбор, построение математической модели — полнота, сложность, снижение размерности — формулировка на математическом языке; упрощенная модель (грубая), тестовые примеры.

3. Постановка вычислительной задачи — анализ ИД, параметры модели, требования к результату, подготовка контрольных вариантов.

4. Анализ вычислительной задачи (существование и единственность решения, корректность, устойчивость).

5. Выбор численного метода — время решения, требуемая точность, универсальность.

6. Алгоритмизация — порядок вычислений, критерии окончания, контрольные точки и промежуточные проверки.

7. Обработка, представление и анализ результатов.

8. Корректировка модели, ИД, и т.п., возвращаемся к 1.

В самой общей постановке вычислительная задача состоит в том, что для каждого x из множества исходных данных X требуется найти единственное решение y из множества возможных решений Y.

Пример. Найти решение уравнения ax + b = 0. Здесь исходные данные (ИД) — коэффициенты уравнения a и b, т.е. X = R2 = {(a, b), a, b — действительные числа, a ≠ 0}, Y = R1 = R — множество действительных чисел; задача имеет единственное решение . Если (a, b) = (3, 1), то решаем уравнение 3x+1 = 0.

Его единственное решение — .

Простота, «примитивность» примера не случайна. Нужно стараться все понять на простейших примерах. Линейная функция и линейное уравнение будут основными источниками примеров в течение всего курса.

В дальнейшем будем обозначать (если специально не оговорено другое) y — точное, “теоретическое» решение задачи, x — точные, «теоретические» исходные данные; соответственно y* и x* — их приближенные значения, еще y*— результат численного решения задачи.

Источники и классификация погрешностей численного решения задачи

— погрешность численного решения задачи y = y(x).

Причины возникновения погрешностей:

• погрешность математической модели;

• погрешность исходных данных;

• погрешность приближенного решения задачи;

• погрешность приближенных чисел (округление, ввод в память компьютера).

— неустранимая погрешность — погрешность модели, погрешность ИД;

—погрешность метода — погрешность избранного численного метода; не следует стремиться сделать ее как можно меньшей, желательно — в 2-3 раза меньше неустранимой погрешности;

— вычислительная погрешность — погрешность приближенных чисел, погрешность округления; следует стремиться сделать ее хотя бы на порядок меньше погрешности метода;

.