Введение в физику контрольная

Часть 1. Тема 10. Вариант 6.

6.1. Найти модуль разности векторов и косинус угла α между векторами . Ответ округлить до двух значащих цифр.

Решение:

Координаты начала и конца вектора

Координаты начала и конца вектора

Совместим начало векторов с началом координат:





разность векторов:

Модуль разности векторов:

Скалярное произведение векторов:

.

С другой стороны скалярное произведение векторов:

.





.

6.2. Найти модуль суммы векторов и модуль векторного произведения . Ответ округлить до двух значащих цифр.

Решение:

Координаты начала и конца вектора

Координаты начала и конца вектора

Совместим начало векторов с началом координат:





сумма векторов:

Модуль суммы векторов:

Векторное произведение векторов:

6.3. Найти значение производной от функции в точке с координатой х = 1.

Решение:



.

6.4. Найти частные производны и функции .

Решение:

.



.

6.5. Найти градиент функции в точке М: .

Градиент функции – это вектор, определяемый выражением:



единичные векторы координатных осей.







.

Часть 2. Тема 10. Вариант 10.

10.1. Частица движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону , где A, B, C – постоянные величины, i , j, k– единичные орты в декартовой системе координат. Найдите тангенс угла, под которым будет направлена скорость v к оси х в момент времени t =1 с, если .

А = 2 м, В = 3 м, С = 4 м.

Дано:













Решение:



Проекции скорости на оси координат:



Где





Ответ: д) 2,0.

10.2. Частица движется так, что ее скорость зависит от времени по закону , где A, B – постоянные величины, i , j

– единичные орты в декартовой системе координат. Через сколько секунд ускорение частицы будет перпендикуляр-

но оси х, если . А = 5 м/c, В = 7 м/c.

Дано:











Решение:





По условию



Ответ: а) 0,357.

10.3. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зависит от времени по закону , где A, B – постоянные величины, i , j – единичные орты в декартовой системе координат. Какой путь проделает частица за время t =1 с, если ,

А = 2 м/c, В = 3 м/c.

Дано:











Решение:



Проекции скорости на оси координат:



модуль скорости.

по условию





Ответ: б) 1,20 м.



10.4. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону , где A, B – постоянная величина, i , j – единичные орты в декартовой системе координат. Каков модуль скорости частицы в момент времени t=1 с, если .

Дано:











Решение:

;

Ускорение направлено по оси “0Y”:



Проекции начальной скорости на оси координат:











. Ответ: г) 4,27 м/с.

10.5. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса R =1 м со скоростью, модуль которой зависит от времени по закону . Найти отношение нормального и тангенциального ускорения частицы через время t =1с, если . А = 4 м/с.

Дано:











Решение:

Нормальное ускорение:

Тангенциальное ускорение:

Ответ: в) 4.

10.6. Диск радиуса R =1 м вращался вокруг своей оси с угловой скоростью . В момент времени t = 0 его угловое ускорение стало возрастать по закону Какую угловую скорость будет иметь диск через время t= 1 с, если ? А = 2 с–2, .

Дано:













Решение:



По определению:

Ответ: д) 3,7 рад/с.