Вычислительная математика

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...............................................................................................................5

1 Решение уравнений с одной переменной ...................................................... 7

1.1 Отделение корней ......................................................................................7

1.2 Интервальные методы поиска корней ..................................................... 9

1.2.1 Метод перебора.....................................................................................9

1.2.2 Метод дихотомии (метод половинного деления) ...........................10

1.2.3 Метод хорд ..........................................................................................13

1.2.4 Метод золотого сечения.....................................................................17

1.3 Итерационные методы поиска корней...................................................20

1.3.1 Метод Ньютона...................................................................................20

1.3.2 Метод итераций ..................................................................................23

1.4 Комбинированный метод........................................................................27

1.5 Задачи для самостоятельного решения .................................................29

2 Решение задач линейной алгебры ................................................................31

2.1 Методы решения систем линейных уравнений....................................31

2.1.1 Метод Гаусса.......................................................................................31

2.1.2 Метод ортогонализации.....................................................................33

2.1.3 Метод декомпозиции (схема Халецкого).........................................36

2.1.4 Метод простой итерации ...................................................................38

2.1.5 Метод Зейделя ....................................................................................41

2.2 Решение переопределенной системы ....................................................43

2.3 Вычисление определителей....................................................................45

2.4 Вычисление обратной матрицы .............................................................49

2.5 Задачи для самостоятельного решения .................................................51

3 Приближение функций..................................................................................54

3.1 Постановка задачи ...................................................................................54

3.2 Алгебраическое интерполирование.......................................................56

3.2.1 Формула Ньютона для равномерной сетки .....................................56

4

3.2.2 Формула Ньютона для неравномерной сетки..................................60

3.2.3 Формула Лагранжа для неравномерной сетки ................................62

3.2.4 Формула Лагранжа для равномерной сетки ....................................63

3.3 Аппроксимация тригонометрическими функциями............................64

3.4 Приближение функций полиномами Лежандра...................................68

3.5 Полиномы Чебышева ..............................................................................70

3.6 Задачи для самостоятельного решения .................................................72

4 Численное дифференцирование ...................................................................75

4.1 Формулы Ньютона...................................................................................75

4.2 Формула Лагранжа ..................................................................................78

4.3 Задачи для самостоятельного решения .................................................83

5 Численное интегрирование ...........................................................................85

5.1 Формулы трапеции и Симпсона.............................................................85

5.2 Формулы прямоугольников....................................................................89

5.3 Правило Рунге оценки остаточного члена ............................................91

5.4 Формула Гаусса........................................................................................92

5.5 Задачи для самостоятельного решения .................................................95

6 Задания для контрольной и лабораторных работ .......................................97

6.1 Решение уравнений с одной переменной..............................................97

6.2 Решение задач линейной алгебры..........................................................99

6.2.1 Решение систем линейных уравнений .............................................99

6.2.2 Вычисление определителей матриц ...............................................103

6.2.3 Вычисление обратной матрицы......................................................103

6.3 Приближение функций..........................................................................104

6.4 Численное дифференцирование...........................................................106

6.5 Численное интегрирование...................................................................107

Ответы и решения к задачам для самостоятельного выполнения .............110

Литература .......................................................................................................117

Приложение А (справочное) Шаблон титульного листа и оглавления

отчета по контрольной и лабораторным работам....................................118

5

ВВЕДЕНИЕ

При использовании ЭВМ численные методы выступают как мощное

математическое средство решения практических задач. Современные успехи

в решении важных проблем в таких значимых областях, как атомная энергетика, космическая отрасль, экономика не были бы возможны без применения ЭВМ и численных методов. По оценкам ученых, эффект, достигаемый за

счет совершенствования численных методов, составляет 40% от общего эффекта, достигаемого за счет повышения производительности ЭВМ [1].

Численные методы – это методы, позволяющие при помощи алгоритмов, имеющих конечное число итераций, решать различные математические задачи (заданные в аналитическом виде).

Проведение сложных математических расчетов требуется во многих

отраслях науки и техники. При этом объем этих расчетов таков, что вручную

за разумное время их выполнить невозможно. Примеры – распределение

нагрузки между подключенными к электростанции объектами (оно должно

происходить практически мгновенно при изменении потребляемой мощности), вычисление траектории космических тел, расчет движений земной коры

в геоинформационных системах (а это задачи нефтяной, газовой и других отраслей) и многое другое. Для этого и внедряются в промышленность и науку

вычислительные системы, создаются специализированные пакеты для проведения численных расчетов. Распространение же ЭВМ ставит, в свою очередь, новые математические задачи, не существовавшие ранее – распределение интернет-трафика, обсчет трехмерных моделей в графических редакторах и играх и т. п.

Таким образом, знание численных методов необходимо инженеру, область деятельности которого связана с программным обеспечением вычислительной техники и, в особенности, автоматизированных систем.

6

В предлагаемом пособии рассмотрены в примерах и задачах основные

численные методы решения задач из следующих разделов вычислительной

математики: решение уравнений с одной переменной, решение задач линейной алгебры (решение систем линейных алгебраических уравнений, вычисление определителей, обратной матрицы), приближение функций, численное дифференцирование и интегрирование функций. В каждом разделе приведены краткие сведения из теории [2], описаны алгоритмы вычислений

и разобраны примеры по каждому из описываемых алгоритмов. В конце

каждого раздела даны задачи и примеры для самостоятельного решения.

В главах 6–8 приведены задания на контрольную и лабораторные работы

с индивидуальными вариантами заданий.

Выбор варианта задания осуществляется по общим правилам с использованием следующей формулы:

V = (N ⋅ K) div 100,

где V – искомый номер варианта,

N – общее количество вариантов,

div – целочисленное деление,

при V = 0 выбирается максимальный вариант,

K – код варианта.

В приложении представлен шаблон титульного листа и оглавления отчета по контрольной и лабораторным работам. Отчеты должны быть оформлены согласно ОС ТУСУР 01–2013. Работы студенческие по направлениям

подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования

и правила оформления. Приказ ректора от 03.12.2013 № 14103. Режим доступа