Высшая математика. Задания к семинарам

Задание № 2 по ВМ для ЗФО 1 курс

Задача 1

Даны координаты векторов ¯ , ¯ , ¯ . Найти:

1) длину вектора |2¯−b|;

2) скалярное произведение векторов ¯ и ¯ ;

3) косинус угла между векторами ¯ и ¯ ;

4) векторное произведение векторов ¯ и ¯ ;

5) площадь параллелограмма S1 и площадь треугольника S2 , построенных на

векторах ¯ и ¯ ;

6) смешанное произведение векторов ¯ , ¯ и ¯ ;

7) объем параллелепипеда V 1 и объем пирамиды V 2 , построенных на

векторах ¯ , ¯ и ¯ .

¯= (2; 3; 1),

¯= (2; 3; 4),

¯= (3; 1; -1).

Задача 2

В треугольнике АВС даны вершины А(–6;2), В(2;–2) и С(1;2). Найти: а)

уравнение медианы АМ, б) уравнение перпендикуляра опущенного из В на

АМ, в) длину высоты ВН. Выполнить чертеж.

Задача 3

Найти точку M', симметричную точке M относительно плоскости P.

M (1; 0; 1), P: 4x+6y+4z-25=0.

Задача 4

Найти угол между прямой и плоскостью

Задача 5

x= y−1= z−4

Показать, что прямая 2

3

0

параллельна плоскости 3x – 2y + z –

4 = 0

Задача 6 Вычислить пределы данных функций.

2

lim x +4 x−5

√x 4+x−√ x4+1

x

2 x3

lim

а) → 1

+3 x−5 ;

б) x→∞

2 x+3;

x−7 2 xlim

lim sin 11 x

в) x→∞( x+5 ) ;

г) x→0 √1−cos x .

Задача 7

Определить то значение параметра А, для которого функция f ( x ) будет

непрерывной (если возможно). Сделать чертеж.

f ( x )={ x3 ,

x≤2 ;

2 x+A ,

x>2 .

Задача 8

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

y=( x−5 )2

−x+1

Задача 9

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y= x−4 √x+2+4 на

отрезке [−1 ;14 ]

Задания для ЗФО 1 курс

1 Даны матрицы. Найти матрицы АВ, ВА, ВТАТ, АТВ, если

1 −1

3

2 7

2

5

5

⎛2

1

1 ⎞

А = �4 1 1 7 2�, В = ⎜3 0 2 ⎟.

5 3 −3 −8 1

5

2 −2

⎝0

2

1 ⎠

2 Найти значение выражения Р(А) = 2АТ + А2 − Е, если А = �2

1

1

3�. −

3 Вычислить определители:

2

1

7

0

2 −4 1

−1

4

а) �3

8�; б) �2

6

2 �, в) � 1

5 −2 0

3

5

1

−7 0 1 1�.

−

3

1 −3 1

Вычислить М23, А12.

4 Решить уравнение АХ = В, если А = �3

−7

1

5�, В = �

1

2

3

5�. −

−1

1

−4

5 Найти обратную матрицу и сделать проверку � 2

−4

1 �.

1

−3

2

1

1 −3

0 −1

6 Найти ранг матрицы �1 −14

2

2

6

−1

0

−

3 −4�.

2

4 −2

4 −7

7 Решить систему а) по формулам Крамера; б) матричным методом,

в) методом Гаусса

3 1 − 2 + 3 = 12

� 1 + 2 2 + 4 3 = 6

5 1 + 2 + 2 3 = 3

8 Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее

методом Гаусса.

7 1 − 2 2 − 3 = 2

6 1 + 5 2 + 7 3 + 5 4 = 2

А) �6 1 − 4 2 − 5 3 = 3; Б) �4 1 + 5 2 + 8 3 + 4 4 = 7

1 + 2 2 + 4 3 = 5

8 1 + 5 2 + 4 3 + 7 4 = 2