Задача к практическим занятиям (2 варианта)

Задача к практическим занятиям 2

Дано: сечение размерами b=250 мм, h=700 мм, a=50 мм; растянутая арматура А400 (( R_s =365 МПа); площадь ее сечения A_s =2413 (мм)^2 (3⊘32); бетон тяжелый класса В25 ((R)_b =14.5 МПа); изгибающий момент с учетом кратковременных нагрузок M=100 кН⋅ м.

Требуется проверить прочность сечения по деформационной модели с использованием трехлинейной диаграммы осевого сжатия бетона.

Исходные параметры диаграммы растяжения арматуры (рис.1)

Рис.1 - Расчетная диаграмма состояния растянутой арматуры

R_s =365 МПа; E_s =2∙ (10)^5 МПа; ε_(s0) = (R_s )⁄(E_s )=0.00175; ε_(s2) =0,025.

Исходные параметры трехлинейной диаграммы сжатия бетона (рис.2)

Рис. 2 - Расчетная диаграмма состояния сжатого бетона

σ_b = σ_(b0) = σ_(b2) = R_b =14,5 МПа; σ_(b1) =8,7 МПа; E_b =30∙ (10)^3 МПа;

ε_(b0) =-0,002; ε_(b2) =-0,0035; ε_ =- (σ_(b1) )⊘(E_b =-0,00029)

Сечение по высоте разбиваем послойно на 30 участков площадью A_(bi) =5833,33 (мм)^2 . Систему координат в сечении XOY принимаем с началом в центре тяжести сечения (рис.3):

Z_(sx) =-300 мм; Z_(bi) =±11,66….338,33 мм

Рис.3 - Расчетная схема нормального сечения элемента

Расчет выполнен итерационно, точность расчета задана в 1%. Количество итераций при заданной точности расчета составило 3.

Итерация №1

Для первой итерации значения коэффициентов упругости для всех участков бетона и стержней арматуры приняты равными ν_(bi) = ν_s =1.

Значения жесткостных характеристик D_y , вычисленных при ν_(bi) = ν_s =1, составили:

D_(11) = ∑^(30)_(i=1)▒A_(bi) Z_(bxi)^2 E_b ν_(bi) +∑^1_(j=1)▒A_(sj) Z_(sj)^2 E_s ν_(sj) =258,33 МПа ∙ м^4

D_(13) = ∑^(30)_(i=1)▒A_(bi) Z_(bxi) E_b ν_(bi) +∑^1_(j=1)▒A_(sj) Z_(sj) E_s ν_(sj) =-144,8 МПа ∙( м)^3

D_(33) = ∑^(30)_(i=1)▒A_(bi) E_b ν_(bi) +∑^1_(j=1)▒A_(sj) E_s ν_(sj) =5732,6 МПа ∙( м)^2

Так как продольная сила N и момент М равны 0, а D_(12) = D_(22) = D_(23) =0, то

M_x = D_(11) ∙ 1/(r_x ) + D_(13) (∙ε)_0 ;

0= D_(13) ∙ 1/(r_x ) + D_(33) ∙ ε_0

При вычисленных значениях жесткостных характеристик D_(ij) и моменте M_x =-0,1 МН∙м уравнения примут вид:

-0,1=258,33∙ 1/(r_x ) -144,8 (∙ε)_0 ;

0= -144,8∙ 1/(r_x ) +5732,6∙ ε_0

Из решения системы уравнений значение кривизны составило

1⁄(r_x ) =-0,0003817 м^(-1) ,

а деформации в точке «О»

ε_0 =-9,641∙ (10)^(-6)

Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации №1 показано на рис.4

Рис.4 - Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению после завершения итерации №1

Уточняем по полученным деформациям значения коэффициентов упругости ν_(bi) и ν_s для всех участков бетона и стержней арматуры

ν_(bi) = (σ_(bi) )/(E_b ε_(bi) ) ; ν_(sj) = (σ_(sj) )/(E_(sj) ε_(sj) )

и вычисляем значение жесткостных характеристик D_y :

D_(11) =150,5 МПа ∙ м^4

D_(13) =312,6 МПа ∙( м)^3

D_(33) =3282,6 МПа ∙( м)^2

Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных характеристик D_y получены новые значения кривизны 1⁄(r_x ) =-0,000828 м^(-1) и деформации в точке «О» ε_0 =7,88∙ (10)^(-5) .

Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций при начальных значениях

1⁄(r_x ) =-0,0003938 м^(-1) и ε_0 =9,94∙ (10)^(-6) соcтавляет:

√(([({(ε_(0(n)) -ε_(0(n+1)) )/(ε_(0n) )})^2 +({(k_(x(n)) -k_(x(n+1)) )/(k_(xn) )})^2 ])/n=) = √(([({(-9,94∙(10)^(-6) -7,88∙(10)^(-5) )/(9,94∙(10)^(-6) )})^2 +({(-0,0003938+0,000828)/(-0,0003938)})^2 ])/2)=6,38

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ=0,01.

Итерация №2

Уточняем жесткостные характеристики D_y с учетом значений коэффициентов упругости ν_(bi) и ν_s , полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итерации №1 при 1⁄(r_x ) =-0,000828 м^(-1) и ε_0 =7,88∙ (10)^(-5) .

D_(11) =148,5 МПа ∙ м^4

D_(13) =289,9 МПа ∙( м)^3

D_(33) =2407,6 МПа ∙( м)^2

Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных характеристик D_y получены новые значения кривизны 1⁄(r_x ) =-0,0008659 м^(-1) и деформации в точке «О» ε_0 =10,14∙ (10)^(-5) .

Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации №2 показано на рис.5

Рис.5 - Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению после завершения итерации №2

Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1⁄(r_x ) =-0,000828 м^(-1) и ε_0 =7,88∙ (10)^(-5) составляет:

√(([({(7,88∙(10)^(-5) -10,14∙(10)^(-5) )/(7,88∙(10)^(-5) )})^2 +({(-0,000828+0,000866)/(-0,000828)})^2 ])/2)=0,2

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ=0,01.

Итерация №3

Уточняем жесткостные характеристики D_y с учетом значений коэффициентов упругости ν_(bi) и ν_s , полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итерации №2 при 1⁄(r_x ) =-0,0008659 м^(-1) и ε_0 =10,14∙ (10)^(-5) .

D_(11) =146,6 МПа ∙ м^4

D_(13) =263,6 МПа ∙( м)^3

D_(33) =2232,6 МПа ∙( м)^2

Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных характеристик D_y получены новые значения кривизны 1⁄(r_x ) =-0,0008661 м^(-1) и деформации в точке «О» ε_0 =10,22∙ (10)^(-5) .

Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1⁄(r_x ) =-0,0008659 м^(-1) и ε_0 =10,14∙ (10)^(-5) составляет:

√(([({(10,14∙(10)^(-5) -10,22∙(10)^(-5) )/(10,14∙(10)^(-5) )})^2 +({(-0,0008659+0,0008661)/(-0,0008659)})^2 ])/2)=0,0056

и удовлетворяет заданной точности расчета. Таким образом, итерационный процесс заканчивается. Окончательное распределение деформаций и напряжений по сечению показано на рис.№6

Рис.6 - Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению после завершения итерации №2

Так как

ε_(b,max) =0,00019< ε_(b,ult) =0,00035

( ε)_(s,max) =0,00036< ε_(s,ult) =0,0025,

то прочность сечения обеспечена.