Численные методы решения инженерных задач. Курсовая работа

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Задание, порядок, сроки выполнения и защита курсовой работы

Курсовая работа (КР) на тему «Прикладной анализ вариантов решения

систем дифференциальных уравнений в средах математического моделирова-

ния» выполняется в период с 4-й по 12-ю недели обучения в пятом семестре.

Задание считается выполненным, если сдано в срок, имеет правильные

результаты моделирования и защищено. Защита задания происходит в устной

форме в виде демонстрации разработанных расчётных схем в соответствую-

щей среде (средах). На работу отводится 20 часов.

КР выполняется на одной стороне листов формата А4, имеющих рамку,

которая вычерчивается сплошной толстой основной линией. Линия рамки

располагается от линии образки листа на расстояниях: слева – 20 мм, справа,

сверху и снизу – 5 мм.

Последующие листы после титульного должны содержать рамку, в пра-

вом нижнем углу которой в прямоугольнике размером 8×8 мм должен быть

вписан номер листа.

Содержание этих листов должно быть разделено на разделы и подразде-

лы, которые нумеруются в пределах каждого раздела.

Этап 1 (4-я неделя семестра). Изучения базовых понятий выбранных

методов решения.

Этап 2 (5-я неделя семестра). Анализ подходов, содержащих данные о

реальных вариантах решения поставленной задачи, с целью формирования

предложений по расчетной схеме.

Согласование расчётных схем с преподавателем, ведущим лекции.

Этап 3 (6-7-я недели семестра). Изучения пользовательского интер-

фейса выбранных программных комплексов по материалам в соответствии со

списком литературы.

Этап 4 (8-9-я недели семестра). Уяснение типового алгоритма решения

задач анализа расчётных схем средствами программного комплекса. Изучение

примеров решения задач с уравнениями различного вида.

Этап 5 (10-11-я недели семестра). Построение расчётной схемы задан-

ной в среде программного комплекса и выполнение тестового расчёта.

Этап 6 (12-я неделя семестра). Подготовка отчёта по курсовой работе.

Отчёт должен содержать следующие элементы:

1. Титульный лист, подписанный студентом-исполнителем, и простав-

ленную дату предъявления КР.

2. Формулировку задания.

3. Описание свойств использованных операторов и команд программ-

ного комплекса, в котором они задействованы.

4. Предложенную расчётную схему решения.

5. Шаги алгоритма решения задачи.

6. Иллюстрации в виде копий активных окон программного комплекса.

7. Приложение в виде файла расчётной модели в формате программно-

го комплекса.

Этап 7. (13-я неделя семестра). Защита (проверка) курсовой работы.

1.1. Задача Коши и краевая задача

Инженерные и научные задачи часто связаны с решением дифференци-

альных уравнений, так как с помощью последних описываются многие физи-

ческие явления. Соответственно процессы в технических устройствах так же

описываются дифференциальными уравнениями.

Природа этих процессов различна. При анализе тепловых режимов ап-

паратуры рассчитывают тепловые потоки, при изучении электромагнитных

процессов – электрические и магнитные поля, при оценке прочности изделий

вычисляют механические напряжения и деформации.

К сожалению, для многих практически важных случаев задачи, описы-

ваемые дифференциальными уравнениями, весьма сложны, и получить их

точное решение оказывается затруднительно или невозможно. Эти трудности

могут быть связаны с видом уравнения, например, с его нелинейным характе-

ром. Однако решить подобные сложные задачи также как и более простые

можно с помощью компьютера. Поэтому методы решения дифференциальных

уравнений на ЭВМ широко применяются в инженерной практике.

Методы решения задач, содержащих обыкновенные дифференциальные

уравнения, зависят от их математической формулировки. Рассмотрим их.

1.1.1. Классификация уравнений

Дифференциальные уравнения принято делить на две группы: обыкно-

венные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.

В данной лабораторной работе рассматриваются методы решения задач,

описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Эти урав-

нения содержат только одну независимую переменную, в качестве которой

может выступать время или пространственная координата. Иначе говоря, в та-

ких уравнениях все функции зависят только от одной переменной и их произ-

водные по этой переменной являются полными.

Уравнения в частных производных содержат более одной независимой

переменной. Этими переменными могут быть, например, одновременно про-

странственные координаты и время или только пространственные координаты

для статической задачи. В таких уравнениях производные от функций по лю-

бой из независимых переменных являются частными. Кроме того, уравнение

может содержать смешанные производные. Подобного рода задачи и методы

их решения будут рассмотрены в следующей лабораторной работе.