кр.ЭКОНОМЕТРИКА

Задание на контрольную работу

В контрольной работе студенту необходимо выполнить одну задачу, выбрав номер варианта по последней цифре пин-кода.

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

y 96,74 107,03 127,32 147,03 157,03 138,32 144,61 155,03 161,32 180,00

140,52 158,94 187,36 208,94 223,94 189,36 199,78 204,94 215,36 225,78

166,24 189,78 223,32 249,78 269,78 216,32 227,86 233,78 245,32 256,86

212,09 244,105 286,12 314,105 339,11 270,12 286,14 286,11 302,12 318,14

208,29 240,505 282,72 320,505 350,51 257,72 269,94 280,51 292,72 304,94

258,34 299,73 351,12 389,73 424,73 317,12 334,51 337,73 355,12 372,51

272,33 316,885 371,44 416,885 456,89 328,44 345,00 352,89 369,44 386,00

313,59 365,855 428,12 475,855 520,86 376,12 396,39 399,86 420,12 440,39

321,58 376,01 440,44 496,01 546,01 379,44 397,87 408,01 426,44 444,87

354,77 415,565 486,36 545,565 600,57 416,36 437,16 445,57 466,36 487,16

a0 100 110 130 140 145 150 160 160 170 180

a1 25 30 35 40 45 26 27 28 29 30

σ 30 35 40 35 35 40 45 35 40 45

ВНИМАНИЕ! Значения Х принять равными 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 для всех вариантов.

В контрольном задании требуется:

1. Найти коэффициенты регрессии методом наименьших квадратов.

3. Проверить гипотезу о заданном в контрольном задании значении a1 средних удельных затрат.

4. Построить доверительный интервал для значения a1 средних удельных затрат.

5. Найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.

6. Построить доверительный интервал для прогноза фактических затрат при объеме продаж x0 = 6,5.

Методические указания к выполнению контрольной работы

1. Общие методические указания

Для выполнения контрольной работы необходимо знать основные предположения и цели эконометрического моделирования. Прежде всего следует знать, что для эконометрического анализа необходимо выделить две группы экономических показателей: группу результирующих признаков и группу объясняющих их факторов. Например, пусть y обозначает затраты на реализацию x единиц продукции. Здесь результирующим признаком можно считать затраты на реализацию, а объясняющим их фактором – объем продаж продукции.

У равнение модели, связывающее затраты и объем продаж, имеет вид

y=a0 +a1 x (1)

В следующем ниже примере рассматриваются основные этапы эконометрического моделирования.

2. Пример выполнения контрольной работы

Решим пример контрольного задания для параметров x и y, приведенных в табл.1. Кроме того, заданы теоретические значения параметров регрессионной модели a0 = 200, a1 =30, σ = 50.

Метод наименьших квадратов

Рассчитаем коэффициенты регрессии по формулам

, (2)

. (3)

Для этого необходимо предварительно вычислить xiyi, xi2, yi2, заполнить третий, четвертый и пятый столбцы таблицы, а затем найти сумму и среднее арифметическое этих столбцов. Тогда коэффициенты регрессии будут равны (по формуле (2))

b0=363,175-31,318´5.5=190,927. (по формуле (3))

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

yпр=190,927+31,318x. (4)

Таблица 1

№ пп xi yi xiyi xi2 yi2 yiпр ei

1 1 257,30 257,30 1 66203,29 222,24 35,06

2 2 205,85 411,70 4 42374,22 253,56 -47,71

3 3 258,35 775,05 9 66744,72 284,88 -26,53

4 4 280,05 1120,20 16 78428,0 316,20 -36,15

5 5 373,20 1866,00 25 139278,24 347,52 25,68

6 6 501,55 3009,30 36 251552,40 378,83 122,72

7 7 384,45 2691,15 49 147801,80 410,15 -25,70

8 8 408,15 3265,20 64 166586,42 441,47 -33,32

9 9 466,05 4194,45 81 217202,60 472,79 -6,74

10 10 496,80 4968,00 100 246810,24 504,11 -7,31

Сумма по строкам 55 3631,75 22558,35 385 1422981,95

Среднее значение по строкам 5,5 363,18 2255,84 38,50 142298,19

Уравнение регрессии (4) позволяет вычислить прогноз средних затрат yср(x) при любом объеме продаж x. При x=1 реальные затраты составят

y(1)= 257,3 у.е.,

а их прогноз

yпр(1)=190,927+31,318´1=222,24 у. е.

Расхождение между фактическими и прогнозируемыми затратами называют остатками ei. При x=1 остаток составит величину

e1=y1-yпр(1)=257,3-222,24= 35,06.

Аналогичным образом вычисляем приближенные значения yпр и e для х=2,3,…10.

Все значения yiпр и остатки ei помещены в двух последних столбцах табл. 1. Ниже построен график линии регрессии и точками отмечены исходные данные.

Для дисперсии s2 найдем ее оценку s2 по формуле

.

Тогда стандартная ошибка s ==53,74.

Теперь можно сравнить заданные параметры варианта с коэффициентами уравнения регрессии (4) и стандартное отклонение s со стандартной ошибкой s:

параметр a0=200, а его оценка b0=190,927,

параметр a1=30, а его оценка b1=31,318,

параметр s=50, а его оценка s=53,74.

В нашем примере сравнение показывает относительную близость параметров и их оценок. Используя предположение о нормальном распределении отклонений u фактических затрат от средних, можно оценить степень отклонения оценок от параметров.

Проверка гипотез о значении средних удельных затрат

Из процесса моделирования фактических затрат следует, что они содержат случайные величины. Следовательно, коэффициенты регрессии, рассчитанные по фактическим затратам, являются также случайными величинами. Можно доказать, что коэффициент регрессии b1 имеет математическое ожидание a1 и стандартное отклонение

, (5)

где D(x) обозначает дисперсию величины x

.

Заменяя в формуле (5) величину s на ее оценку s, получаем формулу для стандартной ошибки коэффициента b1 =31,318

.

Экономически коэффициент a1=30 означает средние удельные затраты (средние затраты на реализацию одной единицы продукции), а коэффициент регрессии b1=31,318 – приближенное значение средних удельных затрат.

Проверим статистическую гипотезу о том, что отклонение коэффициента регрессии b1=31,318 от значения a1=30 незначительно. Сформулируем две взаимоисключающих гипотезы:

нулевая гипотеза H0: a1=30;

альтернативная гипотеза H1: a1¹30.

Нулевая гипотеза H0 означает, что расхождение между оценкой средних удельных затрат b1=31,318 и точным значением средних удельных затрат a1=30 незначительно.

Возьмем уровень значимости a=0,05, т. е. при принятии гипотез допускаем 5 % ошибочных решений. По табл. В приложения квантилей t-распределения при числе степеней свободы n-2=8 найдем критическое значение t(8)=2.306. Это значение определяет границу критической области, в которой нулевая гипотеза H0 отвергается. Построим критическую область.





–2.306 2.306

Для сравнения значений b1 и a1 найдем фактическое значение

t-распределения:

.

Сформулируем правило принятия гипотезы H0: если фактическое значение t-распределения удовлетворяет неравенству , то принимается альтернативная гипотеза H1, если же выполняется противоположное неравенство , то коэффициент регрессии b1 не противоречит гипотезе H0.

Так как выполняется неравенство |tфакт|=0,2227< =2.306, то гипотеза H0 принимается. Это означает, что коэффициент регрессии b1=31,318 незначительно отличается от a1=30 .

Проверим гипотезу о том, что среднее значение удельных затрат a1=31. Сформулируем две взаимоисключающих гипотезы :

нулевая гипотеза H0: a1=31

альтернативная гипотеза H1: a1¹31 .

Для сравнения значений b1 и a1=31 найдем фактическое значение

t-распределения

.

Так как выполняется неравенство |tфакт|=0,05<=2,306, то гипотеза H0 принимается. Это означает, что коэффициент регрессии b1=31,318 не противоречит гипотезе, что средние удельные затраты a1=31.

Таким образом, коэффициент регрессии b1=31,318 не противоречит как гипотезе a1=30, так и гипотезе a1=31.

Построение доверительного интервала для средних удельных затрат

Найдем теперь все гипотезы о средних удельных затратах a1, которые не противоречат найденному коэффициенту регрессии b1=31,318. Сформулируем две гипотезы:

нулевая гипотеза H0: a1=а,

альтернативная гипотеза H1: a1¹а.

Из правила принятия гипотез следует, что коэффициент регрессии b1=31,318 не противоречит гипотезе H0 , если выполняется неравенство

или . (4.9)

Множество всех значений а, удовлетворяющих неравенству (4.9), образует доверительный интервал

(b1 -d, b1 +d).

Величина

называется предельной ошибкой. Для рассматриваемой задачи предельная ошибка будет равна

d=2,306´5,917=13,645.

Тогда доверительный интервал имеет

нижнюю границу, равную 31,318-13,645=17,673,

и

верхнюю границу, равную 31,318+13,645=44,963,

Таким образом, с надежностью 95 % можно утверждать, что средние удельные затраты составят не менее 17,673 у.е. и не более 44,963 у.е.

Проверка общего качества уравнения регрессии

Мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации . При парной линейной регрессии коэффициент равен квадрату парного линейного коэффициента корреляции

.

Коэффициент детерминации характеризует долю общего разброса значений зависимой переменной , объясненного уравнением регрессии. Считается, что чем больше эта доля, тем лучше уравнение регрессии описывает исследуемую зависимость. В общем случае .

Существует несколько видов формулы линейного коэффициента корреляции, приведем основные из них:

,

где общая дисперсия результативного признака .

Для расчета коэффициента детерминации определим значение линейного парного коэффициента корреляции через коэффициент регрессии:

.

Тогда коэффициент детерминации будет равен: Следовательно, 77,8 % вариации затрат на реализацию объясняется изменчивостью объема продаж, т. е. уравнением линейной регрессии.

Прогнозирование

Уравнение регрессии

yпр(x)= 190,927+31,318x

можно использовать для прогноза фактических затрат y. Найдем прогноз затрат при объеме продаж x0 = 6,5. Подставляя значение x0 в уравнение регрессии, получим

yпр(6,5)= 190,927+31,318´6,5=394,493 у.е.,

т. е. можно утверждать, что затраты на реализацию 6,5 ед. продукции составят 394,493 у.е. Используя это значение, построим доверительный интервал, в котором будут содержаться фактические затраты на реализацию объема продаж x0=6,5. Для этого зададим доверительную вероятность g=0,95 (a=1-g) и найдем предельную ошибку доверительного интервала m по формуле

m==

130,689.

Здесь обозначает среднее арифметическое значений xi.. Тогда доверительный интервал имеет:

нижнюю границу, равную yпр(x0)-m=394,493-130,689=263,304,

верхнюю границу, равную yпр(x0)+m= 394,493+130,689=525,182.

Доверительный интервал означает: с надежностью 95 % можно утверждать, что при объеме продаж x0=6,5 ед. фактические затраты будут в интервале (263,304, 525,182), т. е. затраты составят не менее 263,304 у.е и не более 525,182 у.е.

Реализация задачи в Excel

В ячейки электронной таблицы B2:B12 и C2:C12 ввести исходные данные (согласно табл. 4.3). Выполнить следующие действия:

 Сервис - Анализ данных - Регрессия - ОК;

 Заполнить окно “Регрессия” (как указано на рис. 1), затем ОК.

Реализация рассмотренного выше примера в Excel приведена в табл. 3. Поясним полученный результат решения. В ячейке B17 помещено значение стандартной ошибки s, в ячейках B26 и B27 содержатся коэффициенты регрессии b0 и b1 соответственно, в ячейке С27 – значение стандартной ошибки коэффициента регрессии b1 .

Рис.1



Таблица 3

Приложения

Таблица A

Таблица нормально распределенных случайных чисел

-0,942 0,546 -0,263 0,056 1,207 -0,846 0,880 0,735 -0,377

-0,316 -1,083 0,872 0,423 -1,444 -0,607 0,739 0,811 0,507

-0,292 -0,633 -0,414 0,401 -0,296 1,726 0,060 2,039 1,156

0,403 -0,799 -0,917 0,149 0,378 -1,184 -1,045 0,702 1,247

-0,557 0,464 0,185 1,948 -1,002 0,295 -1,201 0,512 1,172

0,278 2,431 -0,516 -0,030 -0,151 -0,168 0,211 -0,784 -0,502

-0,089 -0,511 -1,552 -0,274 -0,175 -1,157 1,177 0,918 0,993

0,453 -0,637 -0,121 0,905 -0,911 2,654 -0,804 0,328 1,009

-0,114 -0,079 1,944 -0,859 1,551 0,158 0,695 0,206 0,975

0,159 -0,064 1,330 -0,574 0,365 -1,771 0,262 0,202 1,738

-0,726 -0,028 0,116 0,807 -1,236 -0,150 1,008 1,309 -1,310

-1,394 0,126 -1,265 -1,422 1,488 1,875 0,872 0,764 -0,036

1,658 1,105 1,371 -0,668 -0,457 -0,412 -0,042 -0,517 -0,141

1,354 -0,668 0,452 -0,787 -2,207 -1,124 0,453 1,876 -0,387

0,930 -2,308 -0,496 0,664 -0,092 1,244 -0,197 0,026 -0,503

0,444 -0,137 1,551 2,262 -0,143 0,375 -0,802 0,018 -0,286

1,298 -0,329 -0,749 -1,022 -0,601 -0,569 -1,537 -0,038 -0,554

0,036 -0,978 0,028 2,613 -0,194 1,346 -0,810 0,696 -1,822

0,768 0,772 0,683 0,279 -0,597 0,961 -1,540 1,667 1,440

0,259 -0,811 -0,522 -0,619 -0,159 -0,682 -0,758 -0,607 -0,425

0,301 -1,312 0,305 -0,596 1,060 0,288 0,884 2,057 0,264

1,451 1,624 1,056 -0,295 -1,199 -2,944 1,274 -1,482 0,664

0,899 0,921 1,138 0,730 -1,286 -0,210 0,796 -0,735 1,334

-0,279 1,474 -1,544 -0,112 -0,687 -0,837 -0,209 0,619 -0,882

-1,313 -0,925 0,224 -0,511 -0,732 0,725 -1,147 1,520 1,301

0,548 -0,669 0,716 -1,871 -2,145 -0,357 0,510 -2,545 0,499

0,723 -0,350 -0,022 1,920 0,302 1,772 1,836 -0,223 0,900

-0,072 -2,393 1,003 -1,059 0,670 -0,155 0,366 0,659 0,347

1,212 -1,694 -0,300 -0,169 -0,862 -0,520 -0,914 0,394 0,654

0,075 -1,047 1,342 1,232 -0,076 -0,301 -0,340 0,390 -0,602

0,248 -0,556 -0,396 0,728 -0,264 -0,296 0,601 0,417 -0,891

-2,184 0,347 -0,094 1,383 1,779 0,633 -0,133 0,576 -0,836

-0,421 1,239 -0,185 -0,903 0,059 2,148 -1,308 -1,481 0,312

-0,838 0,369 -0,269 -0,511 1,543 -0,843 0,980 -1,298 -0,034

0,825 -0,356 -0,785 0,293 -1,191 -0,625 -0,461 1,152 1,672

-0,648 1,391 -0,623 -0,859 -0,495 0,420 -0,723 0,033 -0,439

Таблица В

Критические значения t-критерия, соответствующие вероятности

Число степеней Доверительные вероятности

свободы 0,90 0,95 0,98 0,99 0,999

1 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600

3 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

24 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660

30 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

60 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

120 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

Таблица С

Границы интервала критических значений статистики Дарбина-Уотсона при уровне значимости

n m=1 m=2 m=3 m=4

dн dв dн dв dн dв dн dв

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 0,88

0,93

0,97

1,01

1,05

1,08

1,11

1,13

1,16

1,18

1,20 1,32

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41 0,697

0,658

0,812

0,861

0,905

0,946

0,982

1,015

1,046

1,074

1,100 1,641

1,604

1,579

1,562

1,551

1,543

1,539

1,536

1,535

1,536

1,537 0,53

0,60

0,66

0,72

0,77

0,81

0,86

0,90

0,93

0,97

1,00 2,02

1,93

1,86

1,82

1,78

1,75

1,73

1,71

1,70

1,69

1,68 0,38

0,44

0,51

0,57

0,63

0,69

0,73

0,78

0,82

0,86

0,89 2,41

2,28

2,18

2,09

2,03

1,98

1,94

1,90

1,87

1,85

1,83